Inverse și rangul matricei

4.1 matrici inverse și rangul matricei

O matrice pătrată de ordinul n este numit nedegenerat (sau nesingular) dacă det A ≠ 0. Altfel matricea A - confluente (sau speciale). Matricea A este inversa unei matrice pătrate A. nesingular dacă AA AAE. în cazul în care E # 8209; matricea identitate de ordinul n.

Teorema 4.1. (Condiție necesară și suficientă pentru existența matricei inverse). Contactați matritsaAsuschestvuet dacă și numai în cazul în care matritsaAnevyrozhdennaya originală.

Dovada. Necesitate. Lăsați matricea A are un invers A. t. e. AA AAE. Prin determinanții proprietate avem 10 D (AA) = D (A) D (A) D = 1, și, prin urmare, (E), D (A) 0.

Suficiență. Fie D (A) 0. Considerăm o matrice pătrată de ordinul n. numita aderare. Elementele sale sunt cofactori ale elementelor matricei. transpune a matricei A.

Este ușor să arătăm că

Rezultă că, dacă o matrice inversă preia matricea A. produsul de AA și AA sunt unitate En matricea de ordine: AAE AA.

Rangul matricei A (A sau notat r sunat (A)) este cel mai înalt ordin al minorilor sale generate (determinanți) diferit de zero. Orice minor nenul al matricei a cărei ordine este egal cu rangul său se numește baza ei minoră. Rânduri și coloane implicate în formarea bazei minorului, va fi de bază. Matricea poate avea unele bază de minori, dar toate ordinele lor sunt aceleași și egal cu gradul de o matrice.

rangul nu se va schimba în cazul în care:

1) rânduri și coloane interschimbate;

2) pentru a interschimba oricare două dintre coloanei sale (rd);

3) se scoate din aceasta coloana (rând) ale cărui elemente sunt egale cu zero;

4) se scoate din aceasta coloana (rândul), care este o combinație liniară a restului de coloane (rânduri);

5) se multiplica coloana arbitrară (linia) la orice număr de zero;

6) la oricare dintre coloanei sale (rândul) se adaugă o combinație arbitrară liniară a coloanelor rămase (rândurile) ale matricei.

Transformările 2) # 8209; 6) sunt numite elementare. Două matrici sunt echivalente. în cazul în care unul se obține din celălalt prin transformări elementare, și este notat ca A

Pentru rândurile matricelor au următoarele relații:

5) r (A B) = r (A), în cazul în care B - pătrat matrice și D (B) este 0,

6) r (A B) r (A) + r (B) - n. unde n - numărul de coloane sau rânduri ale matricei A matrice B.