Dimensiunea spațiului liniar - studopediya

Opredelenie.Uporyadochennoe bază vektorovobrazuet multe din spațiu, în cazul în care:

1) vektorylineyno independent,

2) Orice spațiu vectorial liniar este exprimat în termeni de vectori.

Egalitatea numit un vector de descompunere în bază. Coeficienții se numesc coordonatele vectorului în baza.

Teorema.Pust- bază a spațiului. Apoi, pentru orice vector de expansiune numai bază.

Dovada. Să. atunci

Dar vectorii sunt liniar independente, astfel încât pentru toți. Acest lucru dovedește teorema.

Exemplu. Aritmetica vectorilor spațiu liniar R n sistem

formează o bază, pentru că acești vectori sunt liniar independent, orice vector exprimat liniar prin intermediul lor :.

Această bază nu este singura.

Sarcină. Dovedește că setul de vectori

formează, de asemenea, o bază.

Opredelenie.Lineynoe spațiu tridimensional este numit, în cazul în care există o bază de vectori. Spatiul liniar se numește infinit în cazul în care există un număr nelimitat de vectori liniar independenți.

Evident, în spațiul n-dimensional, orice sistem de vectori este liniar dependent.

Să ne amintim câteva exemple de spații liniare.

2). Spațiul este secvențe infinite. Pentru a arăta acest lucru, să ia în considerare un număr infinit de elemente ale spațiului N:

Orice set finit de vectori sunt liniar independenți.

5.5. sistem de vector Rank. Să - unele, probabil infinit, set de vectori dintr-un spațiu liniar. Un set de vectori este declarat a fi un sistem liniar independent maximal. Dacă acești vectori sunt liniar independente, precum și orice alt adaos vector dintr-o pluralitate de liniar dependent face sistemul. Dacă X este un spațiu vectorial, maximal sistem liniar independent de vectori este o bază.

Să - sistem liniar independent în maxim și lăsați - vector diferit de vectorul. Apoi vectorii sunt liniar dependente :. Rețineți că erau altfel vectori liniar dependente. Aici. Am constatat că în cazul în care - un sistem liniar independent maxim, atunci orice vector poate fi exprimat liniar în ceea ce privește acești vectori. (Dacă sistemul vector este unul dintre vectorii, este evident exprimat în termeni de vectori ai sistemului.)

Lemma.Pusti - două sistem vector și vektorylineyno independent. Dacă vektorylineyno exprimată de atunci.

Dovada. Să presupunem contrariul: să>. Avem:

Luați în considerare o linie compusă din factori:

Aceste linii pot fi considerate elemente spațiale R r. Deoarece>, aceste rânduri sunt liniar dependente, adică, acolo. nu toate la zero, astfel încât

În caz contrar, pentru. dar apoi

adică o dependență liniară a vectorilor. Înseamnă.

Sledstvie.Esli și - sistem liniar două maxime independente, atunci.

Într-adevăr, deoarece vectorii sunt combinații liniare. atunci. Dar, de asemenea, exprimată liniar prin intermediul, atunci. Aici.

sistem vector Opredelenie.Rangom este numărul de vectori într-un maxim liniar sistem independent.

Conform Lema tocmai a dovedit, rangul sistemului nu depinde de alegerea unui maxim liniar de sistem independent.