Diferențierea funcțiilor complexe

Un caz special: z = f (x, y), unde y = y (x), adică z = f (x; y (x)) - o funcție complexă de o singură variabilă x independentă. Acest lucru reduce la cazul precedent, rolul jucat de t variabila x. Conform ecuației (3) avem:

dx dz = ∂ ∂ x z dx dx + ∂ ∂ y z dy dx

dx dz = ∂ ∂ x z + ∂ ∂ y z dy dx.

Această din urmă formulă se numește formula derivatului totală.

Cazul generală este: z = f (x, y), unde x = x (u, v), y = y (u; v). Apoi z = f

în funcție de variabilele independente u și v. derivații săi parțiale

folosind formula (3), după cum urmează. Fixarea v, înlocuiți-

respectiv parțială

Astfel, funcția compozit derivat (z) pentru fiecare variabilă independentă (u și v) este suma produselor din derivatele parțiale ale acestei funcții (z) în variabilele intermediare (x și y) pe derivatele variabilei independente respective (u și v).

În toate cazurile, formula dx = d d x z dx + d d y z dy

(Proprietate diferențială invarianță Total).

Exemplu. Găsiți d d u z și q d v z. dacă z = f (x, y), unde x = uv, y = u v.

Decizie. Aplicând formula (4) și (5), obținem: 65

d d u z = f 'x (x. y) v + f' y (x. y) 1 v. d d v z = f 'x (x y.) u - f' y v u 2 (x y.)

Exemplu. Arată că funcția z = cp (x 2 + y 2) satisface d y d x z - x d d y z = 0.

Decizie. Numeste functie depinde de x și y prin argumentul intermediar x 2 + y 2 = t. prin urmare

d d x z = dz dt d d x z = φ „(x 2 + y 2) 2 x. d d y z = dz dt d d y z = φ „(x 2 + y 2) 2 y.

Substituind derivatele parțiale în partea stângă a ecuației, avem:

y d d xz - x d d yz = y φ '(x 2 + y 2) 2 x - x φ' (x 2 + y 2) 2 y = 2 xy φ „(x 2 + y 2) - 2 xy φ „(x 2 + y 2) = 0 t. e. funcţia z

Satisface această ecuație.

Derivatul în această direcție și gradientul