Curbele date în coordonate polare,

=

.

Pune-un punct de pe a doua ceasuri de mana si se va amesteca un punct de-a lungul mâna a doua, la o viteză constantă, fără a acorda atenție mișcării uniforme a ceasului într-un cerc. Apoi, punctul va descrie o curbă numită spirală Arhimede. Invenția acestei curbe este atribuită Conon din Samos, deși principalele sale proprietăți sunt descrise Arhimede (c. 287-212 BC.). Arhimede, în special, era cunoscut faptul că distanța dintre două rotații succesive ale spiralei este constantă și egală cu 2tt (Fig. 3).

Apropo, din cauza acestei caracteristici, în aranjamentul transformă o imagine reală a spiralei lui Arhimede poate fi văzut, de exemplu, vizionarea rola de hârtie înfășurat strâns cu fața sa de capăt.

La activitățile extra-curriculare este utilă pentru a arăta construcția primul viraj al spiralei lui Arhimede.

Desenați un cerc. Și împărțiți OA raza sa în părți egale n.

Fie n = 8. tragere toate punctele care separă grinzile de centrul O al cercului și le numărul (Fig. 4). 1 de-a lungul punctului nota linie la o distanță

=

OA din centrul cercului. 2 de-a lungul liniei punctului bază la o distanță

=

OA pe linia 3 - punctul la o distanță

=

OA, etc. 8 de-a lungul liniei am pus un punct situat la o distanță

=

Consistently curbă lină care conectează punctele de date, vom vedea primul tur al spiralei lui Arhimede. Construcția va fi chiar mai precis, mai multe puncte împărțind raza și circumferința este selectată inițial.

Arhimede spirală este folosit ca linie ce permite un unghi predeterminat să împartă orice număr de părți egale. O parte din desen în partea veche a instrumentelor de lucru a inclus o placă de metal cu un gravat cu atenție și pe ea o spirala lui Arhimede. Cu ajutorul unui astfel de dispozitiv a fost ușor să împartă un unghi în părți egale. De exemplu, pentru trisecțiunea unghiului BAC atașați-o porțiune de placă suficient de plat la unul dintre unghiul de raze (fig. 5) și pentru a împărți segmentul rezultat AB în 3 porții egale. Arc spirală ar trebui să facă o rază de gradație AO = - AB. Apoi, unghiul de CAO va fi egală cu o treime din BAC unghi.

În arta lui Arhimede în spirală se găsește aplicarea în așa-numita mecha swing-cam care transformă mișcarea de rotație în mișcare liniară tijă șaibe. În unele aranjamente (de exemplu, în ore) necesare pentru a deplasa tija uniform. Asigurați-vă că acest lucru este posibil, conturarea profilului de unelte de pescuit într-o spirală de Arhimede.

Ca un al doilea obiect de spirală utilizare arhimedic în domeniu poate provoca mandrina autocentrare (Fig. 6), care caneluri de ghidare format într-o spirală de Arhimede. Cu o singură rotire a discului fălcile mandrinei se deplaseze pe o distanță radială de valoare caneluri adiacente.

În plus, forma de spirala Arhimede pentru a avea o pistă de înregistrări de sunet și una dintre piesele mașinii de cusut - un mecanism de înfășurare uniformă a firului pe bobină.

=

,

=

→ + ∞ se poate observa că

→ + ∞ și spirala desfășurare în sens antiorar (fig. 7)

Acesta descrie un punct spirală logaritmică se deplasează de-a lungul a doua direcție nu se află la o viteză constantă (în cazul spirale arhimedice) și cu creșterea, iar această creștere proporțional cu distanța de la orele centrului.

spirala logaritmica poate fi construit folosind așa-numitul dreptunghi de aur, de exemplu, acest lucru, în care raportul de aspect este egal cu raportul de aur:

.

În cazul în care pătrat AVSDotrezat dreptunghi de aur, cu o parte egală cu latura mică a dreptunghiului, apoi a obține din nou un EFSD dreptunghi de aur, dar mai mici. Dacă vom continua în continuare acest proces și apoi conectați vârful unei curbe netede de pătrate, așa cum se face în Fig. 8, obținem spirala logaritmică.

O spirală logaritmică are un număr de proprietăți interesante:

• distanța dintre spire succesive formează o progresie geometrică;

• succesiunea lungimile razelor care formează unghiuri egale unele cu altele, constituie, de asemenea, o progresie geometrică;

• formate în procesul de extindere a sectoarelor, astfel de interceptări raze drugdruga similare.

Logaritmică spirală este adesea găsit în natură și este asociată cu anumite tipuri de creștere. Deci, de multe coji de scoici înfășurări succesive nu sunt identice, și din ce în ce îngroșa. In multe cazuri, grosimile aproximative ale spirelor succesive formează o progresie geometrică. În timp ce coajă scoică în sine nu poate fi considerat în viață, acesta este format prin creșterea organismului. Una dintre cele mai simple moduri de a construi noua substanță duce automat la formarea de o formă foarte aproape de o spirală logaritmică. In multe scoici izbitor meci aproape se găsește între rezultatele măsurărilor și valorile teoretice așteptate pentru o spirală logaritmică exactă (Fig. 9). Semințele de floarea soarelui sunt dispuse pe arcuri de o strânsă caracteristică ca arată măsurătorile respective la arcele spirala logaritmică. Din cauza unor astfel de fapte, unii oameni de știință cred că curba spirala logaritmică, care este una dintre expresiile legilor de crestere organica.

Aplicarea unei spirale logaritmice în domeniu, bazată pe proprietatea că toate cruce vectorii săi raza curbei sub același unghi 2. La această aplicație bazată pe proprietatea spiralei logaritmice în domeniu. Astfel, lame rotative în diverse mașini de tăiere (Fig. 10) au profil conturată în spirală cu arc, în care unghiul de tăiere (unghiul dintre lama de cuțit și direcția vitezei de rotație) rămâne constantă de-a lungul marginii de cuțit mobil care oferă mai puțină uzură.

Tube însumarea jet de apă pentru lame hidroelectrice roți ale turbinelor, are un profil tăiat într-un arc de spirală logaritmică. Acest lucru asigură o pierdere minimă de energie pentru a schimba direcția de curgere și, prin urmare, presiunea apei este utilizat cu eficienta maxima.

În istoria matematicii spirală logaritmică a fost menționată pentru prima dată în 1638 de către Descartes, care a definit o nouă spirală ca o linie, în care raportul dintre lungimea arcului la vectorul corespunzător razei este constantă.

Logaritmică spirala - curba cu caracter „dur“. Aceasta nu schimbă natura sa în mai multe transformări, care sunt sensibile la alte curbe. Comprimare sau decomprima spirala despre polii săi - la fel ca rândul său, la un anumit unghi. Această proprietate este o spirală logaritmică a fost descoperit de către Jacob Bernoulli a numit-o spirală spiramirablis- minunat. Deschideți proprietățile logaritmică Bernoulli în spirală rămân neschimbate la diferite conversii atât de impresionat de știință că el a fost înclinat să le dea un sens mistic. Jacob Bernoulli a lăsat moștenire sculpta o spirală logaritmică pe mormântul său, însoțit de o imagine «Eademmutateresurgo» Latină Expresie - „schimbat și reînvie vechi.“

În continuare, să analizăm câteva exemple de curbe, ecuații polare care conțin funcții trigonometrice. Construcția acestor curbe se poate face pe punctele unde

Este nevoie de valori de la 0 la 2π.

Familia de trandafiri Grande

.

unde k - o constantă pozitivă.

În secolul al XVIII-lea. geometru italian Guido Grandi (1671-1742) a creat un trandafir. Nu, nu acele frumoase flori Nye, care probabil crezi. Rosa Grande ne incanta cu linii corecte și netede, dar contururile lor nu sunt o ciudatenie a naturii - acestea sunt predeterminate de relații matematice special selectate. Aceste curbe au fost determinate de natura, deoarece în majoritatea cazurilor, foaia sau conturul unei flori este simetrică față de axa curbă.

Familia de trandafiri Grande are o proprietate care este în natură și nu au observat imediat: deoarece

întreaga curbă este situată în interiorul cercului unitate. Având în vedere periodicitatea funcțiilor trigonometrice petale constă din identice, simetrice a crescut în raport cu cele mai mari raze, dintre care fiecare este egal cu 1.

Cele mai frumoase „flori“ sunt obținute pentru k = 2 (chetyrehlepestkovaya a crescut), iar pentru k = 3 (triplu trandafir, deși cititorul de notat în fig. 11 b, poate părea că această curbă este mai mult ca o elice).

Vom arăta cum să construiască trohlepestkovuyu a crescut. Prima notă Pentru a construi această curbă, deoarece raza nenegativ, sin3 polar atunci inegalitatea trebuie satisfăcută

≥0, decide care este zona de unghiuri permise: 0≤

.

Datorită funcției periodicitate sin3

(Perioada egalează

) Este suficient pentru a construi un grafic de unghiuri

, iar cele două intervale rămase folosesc frecvență. Deci pust0≤

variază de la 0 la 1. sin3

Aceasta variază de la 0 la 1, și, prin urmare,

variază de la 0 la 1. Dacă unghiul este schimbat din

, modificările raza de la 1 la 0. Astfel boala, atunci când unghiul

, planul tochkana descrie o curbă similară cu forma petală și revine la origine. Același teren obținut atunci când unghiul

Aceasta variază între

. Considerăm acum modul de a construi o curbă dată în coordonate polare prin ecuația

.

- periodice cu perioada π, în plus,

,

așa că este suficient pentru a construi o curbă în primul trimestru, și apoi flip-l în raport cu axa y și frecvența de utilizare pentru construirea curbei în a treia și a patra pătrime.

monotonnovozrastaet la 0 la 1 și la [

;

] Scăderi de la 1 la monoton 0. Astfel, am primit o petală de trandafir, care se află în primul trimestru. Cele trei petale rămase obținute în cazul în care o curbă în trimestrele rămase.

Menționăm următoarele proprietăți interesante chetyrehlepestkovoy trandafiri:

• chetyrehlepestkovaya trandafir este locusul scăzut de la perpendiculare originea la lungimea segmentului 1, capetele care culisează de-a lungul axelor de coordonate;

• zona de sub chetyrehlepestkovoy a crescut, este

.

Grundy Roses au fost aplicate în domeniu, în special, în cazul în care un punct de-a lungul unei linii de rotație cu viteză oscilează constant în jurul unui punct fix - centrul de oscilație, traiectoria acestui punct va crescut.

În general, în cazul în care k - număr întreg, este alcătuită dintr-un trandafir pentru 2klepestkov chiar k și de la k: pentru k petale impare. În cazul în care k - număr rațional (k =

, petale de trandafir este format din m, în cazul în care ambele m și n impar și petale de 2m, atunci când unul dintre aceste numere este chiar; în care pasul se suprapun parțial. Dacă k - număr irațional, trandafirul este format dintr-un număr infinit de petale care se suprapun.

.

Lemniscate de Bernoulli - una dintre cele mai remarcabile linii algebrice. Din forma curbei urmează ecuația, curba este format din doi lobi simetrice (în aparență, această curbă seamănă cu un inversata opt sau arc). Pentru punctele lemniscate inegalitatea trebuie să dețină-egalitatea sos2

, cu toate acestea, este situat între liniile y = ± x. Rețineți, de asemenea, că

=

Vom arăta cum să construiască un lemniscate de Bernoulli. Dar, în primul rând, observăm că, în calitate de pătratul razei polare este non-negativ, ar trebui să fie efectuate sos2 ​​inegalitatea

. Rezolvarea acestei inegalități, constatăm că gama de unghiuri permise:

.

Funcția sos2 ​​Datorită periodicitate

(Perioada sa este egal cu π) este suficient pentru a construi un grafic pentru colțuri

și în alte cazuri, frecvența de utilizare