zona delimitată de cifrele de calcul curba dată parametrically

În clarificarea sensului geometric al integralei definit. am primit formula pentru a găsi zona unui trapez curbiliniu delimitat de axa x. drepte x = a, x = b și un continuu non-negativ (non-pozitiv) funcția y = f (x). În unele cazuri, o funcție care limitează figura, convenabil stabilit în formă parametrică, adică furnizează o relație funcțională prin parametrul t. În acest articol ne uităm la modul de a găsi aria figurii, în cazul unei curbe de limitare de locuri de muncă prin parametri.

După o scurtă trecere în revistă a teoriei și derivarea formulei, considerăm în detaliu soluția de exemple tipice de a găsi aria figurii delimitate de linia dat parametric.

Navigare în pagină.

Formula pentru calcularea suprafeței figurii delimitate de linia specificată parametric.

Să limita trapezului curbiliniu este directă x = a, x = b. abscisă și curba definită parametric și în care funcțiile sunt continue pe intervalul, crește monoton și pe acesta.

Apoi, zona trapezului curbilinie este dată de.

Această formulă este obținută din formula pătrată substituție trapez curbiliniu:

Dacă funcția este o descreștere monoton pe un interval, atunci formula devine.

Dacă funcția nu este elementar primar, apoi pentru a determina ascendent său sau ordine descrescătoare poate solicita secțiunea teorie a creșterii și a funcției descrește pe intervalul.

Exemple de calcul aria figurii delimitate de curba parametric predeterminată.

Luați în considerare exemplele de aplicare a formulei obținute, care să permită să se calculeze formele pătrate delimitate de linii specificate parametric.

Se calculează aria figurii delimitate de linie, care au forma unor ecuații parametrice.

În exemplul nostru, linia definită parametric este o elipsă cu semi-axe 2 și 3 unități. Noi l construim.

Găsiți zona de un sfert de elipsă, situat în primul cadran. Această zonă se află în intervalul. Suprafața întregului cifra calculată prin înmulțirea rezultatului cu patru.

Pentru k = 0 obținem intervalul. In acest interval, o funcție monoton descrescătoare (vezi funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele lor). Aplicând formula de calcul a zonei și integrala definită de formula Teorema fundamentală:

Astfel, suprafața originală a figurii este.

Există o întrebare logică: de ce ne-am luat un sfert de elipse, nu jumătate? Ai putea vedea de sus (sau de jos), jumătate din cifra. Acesta este situat în intervalul. Pentru acest caz, vom avea

Asta este, pentru k = 0 obținem intervalul. În acest interval, o scădere funcție monoton.

Apoi, jumătate din suprafața elipsei este ca

Și aici este dreapta sau la stânga jumătate a elipsei de a lua nu va funcționa.

Reprezentarea parametrica a unei elipse cu centrul la originea și semiaxes a și b este dat. Dacă fapta, în același mod ca în exemplul explodat, obținem o formulă pentru calcularea suprafeței unei elipse.

Cercul cu centrul la originea razei R prin parametrul t este definit ecuații. Dacă vom folosi zona elipsei obținut prin formula, formula poate fi scris o dată pentru a găsi suprafața unui cerc cu raza R ..

Rezolvam un alt exemplu.

Se calculează aria figurii delimitată de curba definită parametric.

Rularea un pic mai departe, curba este „întins“ astroidă. (Astroidă are următoarea reprezentare parametrică).

Să ne insista asupra construcției formei curbei de încadrare. Construieste-l, vom în punctele. De obicei, o astfel de construcție este suficientă pentru majoritatea scopurilor. În cazuri mai complexe, desigur, este nevoie de un studiu detaliat al funcțiilor date parametric folosind diferențial calcul.

În exemplul nostru.

Aceste funcții sunt definite pentru toate valorile valide ale parametrului t. Mai mult decât atât, proprietățile sinus și cosinus, știm că acestea sunt periodice, cu o perioadă de două pi. Astfel, prin calcularea valorilor pentru anumite funcții (de exemplu), obținem un set de puncte.

Pentru comoditate, valorile enumerate în tabel:

Noi marca punctul de pe planul și acestea sunt conectate secvențial linie.

Calculăm zona regiunii situate în primul trimestru al coordonatei. Pentru acest domeniu.

Pentru k = 0 obținem intervalul pe care funcția este în scădere uniform. Aplicarea formulei pentru identificarea zonei:

integralelor obținute prin Definite formulei calcula Teorema fundamentală și primitivele la Teorema fundamentală a formula găsită prin formula recursie a formei, în cazul în care.

Prin urmare, zona este egală cu un sfert din cifra, atunci suprafața întregii cifra este.

In mod analog putem arăta că zona astroidă este ca și zona figurii delimitată de curba, calculată folosind ecuația.