spațiu proiectiv

- Wikipedia, enciclopedia liberă

spațiu proiectiv peste câmp $K$ - spațiu format din directe (subspațiul unidimensional) a unui spațiu liniar $L\; (K)$ într-un anumit domeniu. spațiu directă $L\; (K)$ numitele puncte ale spațiului proiectiv. Această definiție poate fi supusă generalizării unui organism arbitrar $K.$

dacă $L$ Are dimensiunea $n\; +\; 1$, dimensiunea spațiului proiectiv este numărul $n$, și în sine un spațiu proiectiv este notat $KP\; ^\; n$ și a spus să fie asociată cu $L$ (La acest punct, notația $P\; (L)$).

Trecerea de la un spațiu vectorial $L\; (K)$ dimensionalitatii $n\; +\; 1$ spațiul proiectiv corespunzător $KP\; ^\; n$ Se numește spațiu projectivization $L\; (K)$.

puncte $KP\; ^\; n$ Acesta poate fi descris prin utilizarea coordonatelor omogene.

Definit ca raportul

(Λx0. Λxn). în cazul în care λ este diferit de zero, obținem coeficientul (echivalență relativă

Punctul de spațiu proiectiv sunt denumite [X0. : Xn] unde numerele xi sunt numite coordonate omogene [1]. De exemplu, [1 2 3] și [2: 4: 6] reprezintă același punct al spațiului proiectiv.

definiţia axiomatică

Spațiul proiectiv poate fi determinat prin axiomele sistemului de tip Hilbert. În acest caz, spațiul proiectiv este definit ca un sistem format dintr-o multitudine de puncte P. set de linii L și relația I. incidență este în general exprimată prin cuvintele „litera se află pe o linie dreaptă“, care îndeplinesc următoarele axiome:

• Pentru oricare două puncte distincte există un incident unic, linie cu ambele puncte;
• Fiecare linie este incident cu cel puțin trei puncte;
• În cazul în care liniile L și M Intersect (sunt incidente la un punct comun), un punct p și q se află pe o linie L. punct s și r - pe linia dreaptă M. ps și qr intersecteaza.

Subspatiul spatiului proiectiv este un subset al setului P. T astfel încât pentru orice $p,\; q\; \backslash \; în\; P$ acest subset de toate punctele directe $pq$ Ea aparține T. spațiu proiectiv Dimensiunea P este cel mai mare număr n. astfel încât există o creștere strict subspaiilor de tip lanț

$\backslash \; Varnothing\; =\; X\_\; \backslash \; subset\; X\_\; \backslash \; subset\; \backslash \; cdots\; X\_\; =\; P.$

clasificare

• Dimensiunea de la 0: spațiu constă dintr-un singur punct.
• Dimensiunea 1: un set de bază non-gol arbitrar de puncte și o singură linie dreaptă pe care se află toate aceste puncte.
• Dimensiunea 2 (planul proiective): în acest caz, clasificarea este mai complicată. Toate tipurile de avioane $KP\; ^\; n$ pentru unele organism $K$ satisface axioma Desargues. cu toate acestea, există, de asemenea, plane non-Desarguesian (Eng.).
• Dimensiunea mare: Conform Teorema Veblena - Jung, [2], orice spațiu proiectiv de dimensiune mai mare de două pot fi obținute ca modul projectivization peste un corp.

Definiții și proprietăți conexe

• lăsa $M$ este un hiperplan în spațiu liniar $L$. spațiu proiectiv $P\; (M)\; \backslash \; submulțime\; P\; (L)$ Se numește hiperplan proiective în $P\; (L)$.
• Pe complementul hiperplan proiective $A\; =\; P\; (L)\; \backslash \; backslash\; P\; (M)$ Există o structură naturală a unui spațiu afin.
• Pe de altă parte, în funcție de spațiul afin $A$ poate fi obținut ca un spațiu proiectiv afin, la care se adaugă t. ​​n. punctul de la infinit. Inițial, spațiul proiectiv și a fost introdus în acest fel.
• lăsa $P\; (L\; „)$ și $P\; (L)$ - două subspațiu proiectivă. multe $P\; (L\; „+\; L)$ Se numește carena proiectiv $P\; (L\; „)\; \backslash \; cup\; P\; (L)$ și este notat $P\; (L\; „+\; L)\; =\; \backslash \; overline)>$. [3]

pachet tautologic

pachet tautologic $\backslash \; Gamma\; ^\; n:\; E\; \backslash \; la\; \backslash \; mathbbP\; ^\; n$ Se numește un pachet vector. spațiu pachet, care este un subset al produsului directe $\backslash \; Mathbb\; P\; ^\; n\; \backslash \; ori\; \backslash \; mathbb\; ^$

un strat - linia reală $\backslash \; Mathbb\; R$. Proiecția canonică $\backslash \; Gamma\; ^\; n$ Aceasta reprezintă o linie dreaptă care trece prin punctele $\backslash \; Pm\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; ^$, punctul corespunzător al spațiului proiectiv. la $n\; \backslash \; geq\; 1$ Această separare nu este banală. la $n\; =\; 1$ spațiu pachet este o bandă Möbius.

notițe

literatură