Probleme pe un plan paralel, perpendicular, de trecere la un moment dat

Lăsați cele două planuri și a stabilit ecuațiile generale și.

Problema determinării unghiului dintre ele este redusă la determinarea unghiului dintre vectorii normali pentru a le

Din definiția produsului scalar și exprimare în coordonatele și lungimile vectorilor și lor dot-produs obține

Condițiile de planuri paralele și este echivalentă cu condiția vectorilor coliniaritate și constă din coordonatele acestor vectori de proporționalitate:

Condițiile perpendiculare avioane și pot fi exprimate prin egalitatea la zero a produsului scalar al vectorilor normali la acestea:

Exemplul 1. Pentru a stabili dacă cele două planuri paralele, dintre care una este dată de ecuația, iar cealaltă - ecuația.

Decizie. Noi formează coeficienții ecuației plane:

Deoarece coeficienții sunt proporționale, deci două date plane paralele.

Exemplul 2. Pentru a determina dacă un plan perpendicular definit de ecuații și.

Decizie. Plan perpendicular cazul vectorilor și normalele sunt perpendiculare pe ele și să satisfacă Vanishing lor produsului scalar. Deoarece, condiția de mai sus este îndeplinită, și, prin urmare, perpendicular pe planul datelor.

O condiție necesară și suficientă pentru ca cele trei planuri au un singur punct comun (adică se intersectează în acest punct) este zero condiție inegalitatea determinantă coeficienții ecuațiilor:

Această condiție coincide cu condiția ca sistemul de ecuații liniare are o soluție unică unică (link-ul de mai jos puteți vedea ilustrația pe planul doar un exemplu).

Abordarea planuri comune ale sistemului (în cazul în care există și este unic), și dă punctul de intersecție al celor trei planuri.

Exemplul 3. Pentru a determina dacă cele trei planuri se intersectează la un moment dat, atunci când a trecut, pentru a găsi punctul de intersecție. Planul definit de ecuațiile:

Decizie. În primul rând, vom verifica pentru a vedea dacă sunt îndeplinite condițiile cerute de avioane de intersecție la un moment dat. Pentru a face acest lucru, dacă determinantul zero a sistemului este diferit:

Determinant este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații are o soluție unică, ceea ce înseamnă că cele trei planuri se intersectează la un moment dat.

Pentru a găsi acest punct continuă să rezolve un sistem de ecuații de Cramer. Fast forward: condițiile constante în fața celor două ecuații de:

Găsiți factorii determinanți ai necunoscutele:

Este ușor de observat că, prin regula lui Cramer (determinantul decalajului necunoscut de determinant) au fost toate necunoscute una. Astfel, avem un punct de intersecție a trei planuri:

Exemplul 4. Pentru a stabili dacă cele trei planuri se intersectează la un moment dat, atunci când a trecut, pentru a găsi punctul de intersecție. Planul definit de ecuațiile:

Decizie. Verificați dacă avioanele se intersectează la un moment dat. Pentru a face acest lucru, vom calcula determinantul sistemului:

Determinantul este zero, prin urmare, aceste trei planuri se intersectează într-un singur punct.

Să se dea un punct și un plan. Apoi ecuația planului care trece prin punctul și paralel cu acest plan are forma

Exemplul 5. Creați ecuația planului care trece prin punctul (3, -5, 1). și paralelă cu planul.

Decizie. Substituind în formula dată în sravke teoretică a acestui capitol, punctul de date și un alt plan. obținem:

Acesta din urmă este ecuația dorită a planului care trece prin punctul și paralel cu acest plan.