Permutare și substituție
Permutare și substituție.
Metode de calcul determinanții de ordinul n-lea.
Să presupunem că avem un set ordonat de n elemente. Orice dispunere n elemente într-o anumită ordine numită o permutare a acestor elemente.
Din moment ce fiecare element este determinat de numărul său, atunci spunem că dat n numere întregi.
Numărul de diferite permutări de n numere egale cu n!
În cazul în care o permutare de n numere de un număr i stă în fața j. dar i> j. t. e. un număr mai mare de standuri mai mici, mai înainte, atunci spunem că perechea i. j este o inversiune.
Exemplul 1. Pentru a determina numărul de inversiuni din permutarea (1, 5, 4, 3, 2)
Numerele 5 și 4, 5 și 3, 5 și 2, 4 și 3, 4 și 2, 2 și 3 constituie inversiune. Numărul total de inversiuni din permutarea este egal cu 6.
Permutare este numit chiar. în cazul în care numărul total de inversiuni în ea chiar, în caz contrar este numit ciudat. In exemplul de mai sus dat permutare chotnaya.
Să presupunem că avem o permutare ..., i. ..., j. ... (*). Transformarea în care i și j sunt schimbate, iar restul să rămână în locurile lor, numită transpunere. După transpunerea numerelor i și j în permutarea (*) se va reorganiza ..., j. ..., i. ... în cazul în care toate elementele cu excepția i și j. Ei au rămas în locurile lor.
Prin orice permutare de n numere, puteți merge la orice alt permutare a acestor numere, cu doar câteva transpuneri.
Orice transpunere schimbă permutarea paritate.
Când n≥ 2 permutare impar și chiar numărul de n numere același și egale.
Fie M - un set ordonat de n elemente. Orice bijective podstanovkoyn transformare pluralitatea numita grad M-lea.
Substituind scris ca: în cazul în care ik. ik și toate sunt diferite.
Schimbare numit seara. dacă ambele rândul său (permutare) au aceeași paritate, t. e., fie ambele par sau impar ambele. În caz contrar, substituția se numește ciudat.
Când n≥ 2 gradul n-lea impar și chiar permutare numărul același și egal.
Determinant unei matrice pătratică A = A doua comandă este un număr egal cu = a11a22-a12a21.
Determinantul matricei este de asemenea numit un determinant. Pentru determinantul matricei A folosind următoarea notație: det A, # 916; A.
Opredelitelemkvadratnoymatritsy A = al treilea ordin este numărul egal # 9474, A # 9474; = a11a22a33 + + a12a23a31 a21a13a32 # 8209; a13a22a31 # 8209; a21a12a33 # 8209; a32a23a11
Fiecare sumă pe termen algebrică a părții drepte a ultimei ecuații reprezintă produsul elementelor matricei, luate unul câte unul și numai unul din fiecare coloană și fiecare rând. Pentru a determina semnul produsului este util să se cunoască o regulă (numită regula triunghiului), ilustrat schematic în Figura 1:
Exemplul 2. Se calculează determinant al treilea ordin cu privire la regula triunghiului
Fie A - o matrice de ordinul n-lea cu elemente complexe:
Luați în considerare toate produsele de elemente ale matricei A, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană (1). Aceste lucrări vor fi numiți membrii determinantul. Pentru fiecare membru (1) formează permutare (2).
Determinantul n-lea ordin sau determinantul unei matrice pătratică A = (aij) când n> 1, se numește o sumă algebrică a tuturor produselor de forma (1). Mai mult decât atât, produsul (1) este luat cu semnul „+“, în cazul în care substituția corespunzătoare (2) chiar și cu semnul „# 8209;“ dacă permutarea este impară.
Minor Mij elementul aij determinant este determinantul obținut de la sursa de anulare i JTH rând și coloana jth.
1. Determinantul nu se modifică prin înlocuirea tuturor rândurilor coloane corespunzătoare (nu se schimba determinant transpunerea).
2. Atunci când se deplasează cele două rânduri (coloane) modificări determinante semnează.
3. Determinantul cu două linii identice (proporționale) (coloane) egal cu zero.
4. comună tuturor elementelor rând factor (coloana) poate fi luată ca un semn al determinantului.
5. nu se schimbă determinant dacă elementele unui rând (coloană) pentru a adăuga elementele corespunzătoare ale unui alt rând (coloană), înmulțit cu același număr diferit de zero.
6. Dacă toate elementele unui rând (coloana) a determinantului este zero, este egal cu zero.
7. Factorul determinant este suma produselor elementelor din orice rând (coloană) prin cofactori lor (descompunere proprietate determinant pe rând (coloana)).
Luați în considerare unele dintre metodele de calcul al determinanților poryadkan.
1. Dacă determinant ordinul n-lea, deși un rând (sau coloana) constau din zerouri, determinantul este zero.
2. Să presupunem că determinantul de ordinul n-lea unele șir conține elemente nenule. Calcularea determinantul ordine n-lea poate fi redusă, în acest caz, la calcularea unui determinant de ordinul n-1. Într-adevăr, folosind proprietățile determinantul, este posibil toate elementele orice rând, ci unul, face zerouri, și apoi extindeți determinant de-a lungul liniei specificate. De exemplu, rearanja rândurile și coloanele determinantului, astfel încât A11 pe site-ul a fost elementul nenul.
Apoi, prima coloană se înmulțește cu și se adaugă la al doilea, apoi prima coloană înmulțit cu, vom adăuga un al treilea, și așa mai departe. D. Ia determinant al formei
Rețineți că rearanja rânduri (sau coloane) nu este necesară. Puteți obține zerouri în orice rând (sau coloana) a determinantului.
Metoda generală de calcul determinanții de ordinul n nu există, cu excepția calculului determinant ordinea prestabilită direct prin definiție. Pentru un factor determinant al unui tip special, diferite metode de calcul duce la factorii determinanți mai simple.
3. Ne da o formă triunghiulară. Folosind proprietățile determinantului, îl prezintă așa-numita formă triunghiulară, atunci când toate elementele în picioare pe o parte a diagonalei principale sunt zero. Determinantul obținut este produsul elementelor de formă triunghiulară pe diagonala principală. Dacă preferați pentru a obține un zero, pe de o parte a secundar diagonală, va fi egală cu produsul dintre elementele secundare diagonala, luate cu semnul. Intr-adevar, A1N produsul, a2n-1, ..., an1 determinantului este membru și determină semnul (-1) s, în care s - numărul de inversiuni din permutarea (n, n-1, n-2, ..., 2, 1). De aceea, s = n-1 + n-2 + ... + 1 =.
Exemplul 3. Se calculează determinant se descompune pe rând
Extindem determinantul de-a lungul primei linii:
Exemplul 4. Se calculează patra comandă determinantul
1 mod (calculul determinantului prin reducerea acesteia la o formă triunghiulară):
Prezentăm determinant la o formă triunghiulară, înmulțind primul rând succesiv (# 8209; 1), 1, (8209 2 #), și, respectiv, pliat de-a doua, a treia și a patra rânduri.
Metoda 2a (calcularea determinantului prin descompunerea-l pe linie):
Să calculăm determinantul de expansiune pe linie, după conversia acestuia, astfel încât o parte din linia de toate elementele cu o singură excepție a apelat la zero. Pentru a face acest lucru, se adaugă primul rând la al treilea determinant. Apoi se înmulțește a treia coloană pe (8209 # 5) și se adaugă cu a patra coloană. determinant Transformată este extins în al treilea rând. Pentru a treia minore duce la o formă triunghiulară în raport cu diagonala principală.
Exemplul 5. Se calculează determinant ordinul n-lea
Scădeți a doua din primul rând, de la al doilea - .. Etc. treilea și în cele din urmă, ultimul dintre penultima (ultimul rând rămâne neschimbat).
elemente ultimul rând reprezentate ca suma a doi termeni 0 + 1 0 + 1, ..., 0 + 1, (n-1) +1. Aplicarea proprietate (aditiv), avem
Primul factor determinant în sumă - o formă triunghiulară în raport cu diagonala principală, deci este egală cu produsul elementelor diagonale, adică (n-1) n ... Al doilea factor determinant în valoare de transformare, adăugând ultima linie la tot rândul anterior al determinantului. Produsul astfel obținut este determinant transformarea formă triunghiulară în raport cu diagonala principală, astfel încât acesta va fi egală cu produsul elementelor diagonale, adică nn-1 ..:
4. factor determinant de calcul folosind Teorema Laplace. Dacă determinantul alocă rânduri k (sau coloanele) (1 £ k £ n-1), factorul determinant este egal cu suma produselor tuturor minorilor de ordinul k-lea, situate în rândurile selectate k (sau coloanele) pentru cofactori lor.
Exemplul 6. Se calculează determinant
Determinantul zece minori de ordinul al doilea, dispuse în al doilea și al cincilea linii, dar numai trei dintre ele sunt non-zero. Prin urmare, determinantul este convenabil să se extindă pe a doua și a cincea linii: