manual electronic de geometrie
# 1043; # 1083; # 1,072; # 1074; # 1072; 4. # 1051; # 1080, # 1085, # 1080, # 1080; # 1074; # 1090; # 1086; # 1088; # 1086; # 1075; # 1086; # 1087; # 1086; # 1088; # 1103; # 1076; # 1082; # 1072; # 1085; # 1072; # 1087; # 1083; # 1086; # 1089; # 1082; # 1086; # 1089; # 1090; # 1080;
Exemple de rezolvare a problemelor
Problema 1. Scrieți ecuația unui cerc care trece prin trei puncte: A (4, 1), B (-3, -6), C (5, 0).
Decizie. Ecuația cercului care trece prin punctul A (4, 1), B (-3, -6), C (5, 0), ne uităm la forma. Deoarece punctele A, B și C fac parte din circumferința dorită, apoi înlocuind în Eq coordonatele lor, obținem un sistem de trei ecuații liniare:
decide că, avem :. . .
atunci # 8213; Ecuația de cerc.
Pentru a găsi raza centrului cercului și prezentăm ultima ecuație la forma canonică. unde # 8213; Centrul coordonează, # 8213; raza cercului. Ca urmare, avem:
Problema 2. Scrieți ecuația canonică a unei elipse a cărei minciună focarele pe axa y și sunt simetrice origine, în cazul în care distanța dintre directrices este 9, iar distanța dintre focii este 4.
Decizie. În cazul în focarele elipsei sunt situate pe axa. ecuația canonică a elipsei are aceeași formă. dar în acest caz. . Excentricitatea elipsei calculată cu formula. Directoarea au ecuație.
În cazul nostru. ; distanța dintre directrices este egal. Dar. adică. și de a afla sistemul de ecuații. . Din moment. atunci.
Încercarea de ecuația canonică a unei elipse :.
Problema 3. Scrieți ecuația tangentei la cercul. efectuate de la punctul A (1, 6).
Decizie. Punctul A nu aparține cercului, așa cum. ecuația tangențială va fi căutat în formă. Un punct de tangenta apartine, asa au. Ecuația cercului ne da forma canonică.
Sistemul de ecuații
definesc o linie punct comun și cercul, care din prima ecuație în al doilea substitut:
Cuadratura termenii ultima ecuație și termeni similari, avem:
Deoarece linia tangentă la cercul, această ecuație are o soluție unică. În consecință, discriminantă său este zero, adică:
Apoi. # 8213; Ecuațiile necesare ale tangentelor.
4. Creați o sarcină tangent la ecuația elipsei. efectuat la M (12, 3).
Decizie. M nu aparține unei elipse, după cum. Găsiți un punct de contact, presupunând că # 8213; coordonatele punctului tactil:
Soluțiile din prima ecuație (pătratice) sunt:
Substituind valorile obținute în a doua ecuație, vom găsi respectiv; . Apoi avem punctul de tangență. și ecuația tangentei la elipsa arata ca:
Sarcina 1. Scrieți ecuațiile tangentelor la hiperbolă. paralel cu linia.
Decizie. Ecuația tangentei la forma sau hiperbola. Deoarece tangentă este necesar, iar această linie este paralelă, ele sunt proporționale cu coeficienții variabilelor, fie. Deoarece punctul de atingere aparține hiperbolă, fie.
După ce a rezolvat sistemul de ecuații. Obținem. Apoi. Prin urmare, ecuația tangentei
hiperbolă au forma.
Problema 2. Găsiți asimptota de hiperbola:
Decizie. Coordonatele direcției asimptotice satisfac ecuația. și ecuația asimptota este dată de:
și anume . sau în cazul în care.
Apoi asymptotes ecuații sunt:
Ca urmare a conversiei ultimelor ecuații obținem ecuațiile de asymptotes:
Problema 3. Se determină ecuația de asymptotes unui hiperbolă.
Decizie. Această ecuație hiperbolă ne da forma. Coordonatele direcției asimptotic ca soluțiile pe care le găsim ecuația. în cazul în care. . Avem. În consecință ,. # 8213; Vectori direcție asimptotică a hiperbola. Ecuațiile asymptotes sale definite prin ecuații de forma:
în cazul în care. . Rezultă că # 8213; ecuațiilor asimptote ale hiperbola.
Problema 1. Crearea ecuația parabolei, dacă F (4, 3) # 8213; se concentreze, și ecuația :. directricea
Decizie. lăsa # 8213; un punct arbitrar al parabolei. Prin definiție. unde # 8213; distanța de la acest punct la directricea.
Problema 2. Găsiți cea mai mică distanță de la linia dreaptă a parabolei.
Decizie. În cazul în care linia nu se intersectează parabolei, cea mai mică distanță de la linia dreaptă la parabolei este distanța de la linia de la punctul de parabolei, în cazul în care tangenta la parabola este paralelă cu linia de date, în caz contrar distanța este zero. Noi construim ecuatia tangentei la parabolei, o linie dreaptă paralelă cu art. Coeficientul constatat de condiția ca linia tangentă și parabolei ar trebui să aibă un singur punct în comun:
Discriminante Prima ecuație trebuie să fie egală cu zero :. în cazul în care. Ecuația tangentei. Vom găsi distanța dintre această linie și tangenta. Luați un punct tangent M (-9; 0) și găsiți formula distanța de la acel punct la o anumită linie:
Distanța dorită este egală cu 2.
Problema 1. Când ce valori a și b seturi de ecuații: 1) Curba centrală; 2) o curbă parabolică; 3) Curba care are un număr infinit de puncte?
Decizie. Ecuația curbei este dată de centrul sistemului:
Prin urmare, pentru a găsi coordonatele centrului curbei ca soluție de
Calculăm determinanții necesare pentru identificarea și.
Acest sistem are:
# 8213; soluție unică (adică o curbă centrală) la. ;
# 8213; are centrul (adică, curba este parabolică) cu;
# 8213; Acesta are un număr infinit de soluții (adică curba are o linie de centru), la. .
Răspuns: 1) Curba este la centru. ; 2) când curba este parabolic; 3) curba are infinit mai multe centre la. . P # 1077, # 1096, # 1077, # 1085, # 1080; e în Maple.
2. Problema curba a doua ordine definită de ecuația. La ce valoare a parametrului este o linie dreaptă: 1) diametru; 2) tangențială; 3) asimptotă a curbei?
Decizie. 1) Această curbă este centrală. Rezolvarea sistemului de ecuații. găsi centrul ei. Direct este diametrul curbei în cazul în care trece prin centrul său. Prin urmare, atunci când un diametru drept.
2) Direct este tangenta atunci când sistemul
Ea are o soluție unică. Prin urmare, ecuația ar trebui să aibă două soluții de potrivire. Prin urmare, discriminantul acestei ecuații trebuie să fie egală cu zero:
Astfel, direct sau la o tangentă la această curbă.
3) Să ne determine asymptotes curbei. Coordonata și direcția vectorului asimptotice satisfac ecuația:
Se calculează valoarea literelor și a ecuației.
Avem. . Apoi asymptotes curbei sunt directe:
Nici una dintre aceste linii nu coincide cu linia. indiferent de numărul.
Răspuns: 1) linia este diametrul curbei la; 2) linia dreaptă este tangent la această curbă la sau; 3) pentru fiecare linie nu este asimptota curbei. P # 1077, # 1096, # 1077, # 1085, # 1080; e în Maple.
Problema 3. Scrieți ecuația diametrele majore ale curbei definită de ecuația:
Decizie. Coeficienții axe unghiulare se determină din ecuația. Pentru această curbă, avem :. . linie dreaptă cu panta nu este asimptotic. În consecință, principalele diametre (axa) sunt date de ecuațiile curbei:
Transformarea ultima ecuație, obținem:
Sarcina 4. Se aduce la forma canonică a ecuației liniei.
Deoarece ambele. prin urmare, curba de tip eliptic.
Rezolvarea unei ecuații pătratice. Obținem. . Ecuația Canonical este :. Substituind valorile corespunzătoare ale literelor, obținem ecuația canonică a unei elipse :.
Sarcina 5. Reducerea la forma canonică a ecuației liniei.
Deoarece ambele. aceasta înseamnă curba # 8213; hiperbolă.
Rezolvarea unei ecuații pătratice. Obținem. . Înlocuind aceste valori în ecuație. Noi obținem ecuația canonică a hiperbola:
Target 6. Reducerea la forma canonică a ecuației liniei.
Deoarece ambele. aceasta înseamnă curba # 8213; parabole. ecuația Parametrul ne găsim de starea. . Apoi, ecuația canonică a unei parabole este:
Problema 7. Se aduce la forma canonică a ecuației liniei.
Decizie. Din moment. coordonatei vectorii și sunt principalele direcții.
Această linie nu are un centru, deoarece sistemul de inconsistente. Prin urmare, această linie # 8213; parabole. Diametrul principal este vectorul conjugat. deci are ecuația. . Această linie intersectează parabolei în acest moment. care este vârful parabolei. Formula sistem de coordonate în punctul de transfer sunt de forma. astfel încât această linie are ecuația în sistem. Dacă schimbați direcția axei x, care este, să introducă un nou sistem de coordonate. în cazul în care. . formulele de transformare sunt de forma. Prin urmare, trebuie luate în considerare în linia noului sistem de coordonate are o ecuație canonică.
Problema 8. Dă forma canonică ecuația liniei.
Decizie. 1) a scrie ecuația caracteristică a acestei linii și de a găsi rădăcinile sale:
2) Am găsit coordonatele vectorilor și.
3) Se calculează coeficienții și.
Ecuația acestei linii în sistemul de coordonate are forma: sau. În acest caz, nu este nevoie să transfere originea, așa cum am primit deja ecuația canonică a unei perechi de linii paralele :. .
Problema 9. Se aduce la forma canonică a ecuației liniei.
Decizie. Noi scriem linia de această ecuație, după cum urmează:
Această linie împarte într-o pereche de linii intersectate :. .