Convexitate și concavitate a graficului funcției

Funcția Program în aceleași intervale pot fi convexă, în timp ce în altele - concav. Intervale de convexitate și concavitate este găsit de următoarea teoremă.

Dacă funcția în toate punctele intervalului are un al doilea derivat negativ :. graficul funcției în acest interval convexă. Dacă - programul concav.

punct Schema functionala. separa de partea convexă concavă se numește punct de inflexiune (figura 5.9).

Din definiția rezultă că, atunci când trece prin punctul de inflexiune, schimbând direcția de convexitate a curbei, prin urmare, în acest moment își schimbă semnul său. Rețineți că se poate schimba semnul doar în punctele unde este zero, sau în locuri în care nu există. Prin urmare, obținem o condiție necesară și suficientă a punctului de inflexiune.

Teorema (o condiție necesară pentru existența punctului de inflexiune)

În cazul în care funcția este de două ori derivabile pe un interval, și este un punct de inflexiune, atunci fie nu există.

Teorema (condiție suficientă pentru existența unui punct de inflexiune)

Dacă derivata a doua, în care trece prin punctul. în care este zero, sau nu există, se schimbă semnul, punctul de grafic cu abscisa există un punct de inflexiune.

Pentru a găsi intervalele de convexitate și concavitate de puncte de inflexiune și grafică funcție utilizând următoarea schemă:

3) definesc punctele în care fie nu există (în special);

4) pentru a investiga caracterul din stânga și în dreapta fiecărui astfel de punct;

5) indică coordonatele punctelor de inflexiune și intervalele de convexitate și concavitate.

Găsiți intervalele de convexitate și concavitate și puncte de inflexiune a funcțiilor graficului.