Yatskin - algebra

36.5. Raportul de asociere într-un inel comutativ. Associates (proporțională) polinoame. polinoame normalizate

Definiția 36.3. Două elemente de; b unui inel comutativ K este asociat. în cazul în care acestea diferă printr-un factor reversibil. Acest fapt este indicat de

(Notă: noua asociație pe termen lung și asociativitatea este un concept complet diferit!).

Raportul „este o relație de echivalență. (Simbol „se referă la cele mai“ saturată „din partea

din punct de vedere alfabet: se referă la o largă varietate de relații de echivalență, care sunt abundente în domeniul științei matematice).

Elementul zero este asociat doar cu ea însăși. Elementele asociate cu un singur element, sunt elemente reversibile și numai acestea. Toate inelul K este împărțit în clase disjuncte de elemente asociate.

În inelul Z două elemente nenul o; b sunt asociate dacă și numai dacă b = §a:

În inelul K = P [x]; în cazul în care câmpul P, două elemente nenule (polinomial) asociat [f (x) »g (x)] dacă și numai dacă

proporțională. .. Ie factor constant nenul diferit [g (x) = cf (x); c 2 P ¤].

Ultima formulare este aproape nu sa schimbat cu rapoartele P câmp de înlocuire pe inelul comutativ L; este necesar doar să se considere că nenule elemente permanente pot exista în L. În cazul polinoamelor peste câmp în fiecare clasă de polinoame proporționale există un polinom unic, cu coeficient de conducere egal cu unu. Astfel de polinoame noi numim normalizat.

Notă 36.10. Ultimul termen nu este universal acceptată. Din ce în ce, aceste polinoame sunt numite mai departe. (Gândiți-vă la cursul algebra școlar, termenul „dat ecuația de gradul doi.“)

Cu toate acestea, termenul „a redus polinomul“ foarte rău, combinate cu același termen „reductibil polinom“ (care va fi introdusă ulterior, aceasta indică în mod semnificativ mai complexă și concept important). Pentru a evita confuzia, ne vom concentra pe termenul „polinomul normalizat“.

Notă 36.12. Luați în considerare inelul polinoamelor K = L [x] a inelului integral L: Grad de proprietate (36,12) este stocat pentru aceste polinoame. (De fapt, elementul cheie regula dovada 2 a fost observația constă în faptul că produsul dintre cele mai mari coeficienți de două polinoame este un element de zero, deoarece acestea au fost ei insisi coeficienții de conducere. Această observație rămâne valabilă și în cazul polinoame cu coeficienți într-un inel integrantă. )

Prin urmare, avem următoarea concluzie: când inelul L este integrat, iar inelul L [x] este completă.

În special (a se vedea. Observația 36,8), inele integrale sunt polinoame de două (trei sau mai multe) variabile (detalii mai jos).

Poate vrei să vezi un exemplu de incompletitudine inel comutativ?

Luați în considerare inelul de clasa rest modulo un număr compozit, de exemplu, Z = 6 f 0; 1; 2; 3; 4; 5 g: In acest inel va avea 2 ¢ 3 = 0 (multiplicare realizată modulo 6).

Notă 36.13. Am spus deja că, împreună cu un record de polinoame f (x) 2 P [x] în ordinea puterilor ascendente [vezi. formula (36.1)]

f (x) = f 0 + f 1 x +. + F n¡ 1 x n¡ 1 + f n x n;

f k 2 P (k = 0; 1;.; n); f 6 = 0; (36,17)

utilizată ca intrare în ordine descrescătoare [vezi. formula (34.2)]

f (x) = a 0 x n + 1 x n¡ + 1. + A n¡ 1 x + a n;

a k 2 P (k = 0; 1;.; n); o 0 = 0. 6 (36,18)

Comunicarea între aceste două forme de înregistrare se realizează prin relațiile: (. K = 0; 1 ;; n) k = f n¡k.

Primul stil de înregistrare am folosit în acest paragraf atunci când se analizează întrebările teoretice. În aplicațiile practice este mult mai convenabil de a utiliza al doilea stil.

x 37. Raportul diviziune și cu divizibilitate reziduală

un inel de polinoame (peste)

37.1. Împărțirea cu restul în inelul polinomial. În prefața la acest manual a fost dat un rezumat al informațiilor despre aritmetică întreg. În special, informația de antrenare a compartimentării, cu un rest de un întreg de un rezultat pozitiv. Acest lucru (din liceu) operarea familiară poate fi modificată, astfel încât este posibil să se împartă restul oricărui număr întreg pe orice număr întreg non-zero.

Și anume, oricare ar fi a; b 2 Z (a = 0 6) există q; r 2 Z; că

(B = aq + r) ^ (JRJ

Subliniază faptul că un inel de reziduu Z valoare Următoarea funcție „modulul“ (x 7 xjj!); în calitate de Z setul de numere întregi.

Acum, să ne întoarcem la inelul de P [x] polinoame peste câmpul P: Acum vom demonstra că, în acest inel este de asemenea posibil să „organizeze“ diviziune cu rest, și rolul funcției de urmărire va juca o funcție de „grad“ (36.5) [f (x) 7! deg (f (x))]; definită pe mulțimea tuturor polinom nenul și luând valori în setul de numere întregi nenegative.

Teorema 37.1. Fie P un câmp; f (x); g (x) sunt două polinoame cu coeficienți de P [f (x) = 0 6]. Apoi, există o (unic) polinoamele q (x); h (x) 2 P [x]. astfel încât

g (x) = f (x) q (x) + h (x);

De fapt, intrarea (37.5) este corectă, deoarece coeficientul de conducere a 0 a f polinomului (x) este diferit de zero și deci inversabile; În plus, expresia

h 1 (x) = g (x) ¡f (x) q 1 (x) =

= B 0 x m + b 1 x m¡ + 1. + B m¡ 1 x + b m ¡

¡B 0 0 1 o ¡x m¡n ¡a 0 x n + 1 x n¡ + 1. + A n¡ 1 x + a n ¢ = = (b 1 ¡b 0 o ¡0 1 1) x m¡ + 1 (.)

Este un polinom de grad cel mult m ¡1 membri de rang înalt [distruse; (.) Denotă un polinom simbol de grad m ¡2; nu exclude cazul h 1 (x) = 0].

A primit, astfel încât punctul de vedere

g (x) = f (x) q 1 (x) + h 1 (x);

în care fie 1 h (x) = 0; fie deg (h 1 (x))

[Reziduu Cautat h (x) = h 1 (x)]. În al treilea caz, divizia trebuie să continue aplicarea la polinomul h 1 (x), aceeași metodă ca mai sus

a fost aplicată g (x):

2 unde h polinomul (x) sau zero sau mai mică decât cea a gradului său de 1 h (x). De la (37.6) și (37.7), obținem reprezentarea

g (x) = f (x) (q 1 (x) + q 2 (x)) + h2 (x).

proces Incipient conduce la grade severe Descending reziduuri „intermediare“ până la punctul în care, la un pas (s numeral 6 m¡n +1) un alt h de reziduuri s (x) devine zero sau devine mai mică decât gradul n ei:

Rezultatul final va arata

g (x) = f (x) (q 1 (x) + q 2 (x) + + q s (x).) + h s (x);

care coincide cu (37,2), dacă am pus q (x) = q 1 (x) +. + Q s (x) și

2. Demonstrăm acum unicitatea determinării q parțial câtul (x) și un reziduu h (x) în (37.2).

Să împreună cu (37.2) are o reprezentare

g (x) = f (x) ~ q (x) + h (x);

unde h polinomul (x) fie zero sau un grad mai mic n: Scăzând ultima formulă cu formula (37.2) și transferul OC

resturile de la o parte de egalitate, obținem

f (x) (q (x) ¡q ~ (x)) = h (x) ¡h (x).

Demonstrăm mai întâi egalitatea polinoamelor q (x) = q ~ (x). Presupunând contrariul, q polinomul (x) ¡q ~ (x) ar fi non-zero, și, prin urmare, în funcție de gradul de proprietate (36,12), în partea stângă a ecuației (37.8) este un polinom de grad mai mic de n: În același timp, cele două reziduuri au un grad de inferior n: prin urmare, prin proprietatea (36,8), gradul de partea dreapta este, de asemenea, mai mică decât n: o contradicție. Astfel, egalitatea de coeficienti parțiale dovedit. reziduuri de egalitate

h (x) = h (x) este acum o consecință imediată a (37,8). ¤

Exemplul 37.1. Să considerăm polinoamele g (x) = 6 x 2 x 4 ¡¡3 3 x + 2, și f (x) = 2 x 2 ¡x ¡3. (Acestea pot fi vizualizate peste câmpul numerelor raționale Q sau oricare dintr-un domeniu mai larg, de ex peste R.)

În practică, diviziunea polinoame cu rest se face, la fel ca la școală, într-o coloană. (Pentru comoditate, am suferit un exemplu set de acest design în anexa 2, a se vedea tabelul 37.1a ...)

Împărțirea cu restul în inelul polinomial

Calculele da q parțial câtul (x) = 3 x 2 + 1 x 2 + 19 aprilie și reziduu h (x) = x + 13 aprilie 65 4.

Dacă dividendul [polinomul g (x)] pentru a înlocui polinomului proporțional, menținând neschimbată divizorul h (x); apoi rezultatele cu restul împărțirii [q parțial câtul (x) și un reziduu h (x)] se înlocuiesc proporțional.

Mai mult decât atât, în cazul în care oricare dintre etapele procesului de fisiune (descris în dovada Teorema 37.1) a înlocuit obținut în această etapă reziduu „intermediar“ pe proporțional, apoi reziduul „final“ va fi proporțională cu valoarea reală (deși câtul parțială poate deformată în mod sever).

Această circumstanță poate fi folosită (pentru scor manual) pentru împărțirea cu rest un polinom cu coeficienți întregi la altul. Este întotdeauna posibil să se asigure că restul au avut, de asemenea, coeficienți integrale.

(. Tabelul 37.1b prezintă o a doua variantă a soluției din Exemplul 37.1 Calculele da :. H (x) »13 x + 65. Incomplete Private dovedit distorsionată.)

Exemplul 37.2. Încearcă-l singur pentru a înțelege sintaxa Maple-functie real. Mai jos vom prezenta o solutie (folosind comanda) din Exemplul 37.1.

> G: = 6 ¤ x 4 ¡¤ x 3 2 3 ¤ ¡x + 2:

> F: = 2 ¤ x 2 x ¡¡3:

> H: = rem (g, f, x, 'q'); q;

Nota 37.2. Posibil să se determine împărțirea cu rest în inelul polinomial K = L [x] peste comutative inelul L?

Da, dacă divizorul f (x) este reversibil coeficient de conducere (a 0 2 L ¤). [De fapt, fiecare pas al algoritmului descris în demonstrația teoremei 37.1, bazată doar pe existența unui element ¡1. 0] In mod specific, polinoamele peste inelul Z poate fi împărțită cu un rest unul de altul numai în cazul în care coeficientul de conducere va fi 1 sau un separator ¡1.

37.2. Raportul Divizibilitatea în întregul inel. Separabilitatea (uniform) pentru polinoame. Pentru elementele a; b într-un inel comutativ arbitrar poate determina divizibilitatea raportul K (uniform) ajb; este echivalentă cu existența unui astfel de element c 2 K; că b = a ¢ c:

În special, declarația 0 0 j este adevărat (de ce?), Și când b = 6 0 0 jb afirmație este falsă. Element de identitate imparte fiecare element. Dacă un element împarte fiecare element, apoi, în particular, se divide 1 și, prin urmare, inversabile. (De ce?)

Dacă inelul este parte integrantă K (.. N 36,6 cm), apoi 6 = 0 implică de fapt elementul divizibilității ajb c unicitate; în definiția divizibilitatea. (De ce?)

Inelele „montate“ la restul operațiunii divizare (cum ar fi inelul de întregi sau inel polinoamelor peste un domeniu), al AJB fapt divizibilitate; în general vorbind, nu este echivalent cu tratamentul

un rest zero, obținut prin împărțirea b la o (în cazul în care coeficientul parțial, iar restul nu poate fi determinată în mod unic).

Sub formulat ofertă, care conține proprietățile de bază ale raportului divizibilitatea în întregul inel.

Oferta 37.1. Fie K un inel integru. Proprietățile următoare relație divizibilitate (pentru toate elementele a, b, c 2 K):

1) AJA (reflectivitate);

2) (ajb) ^ (BJC)) (AJC) (tranzitivitate);

3) (ajb) ^ (BJA). (A »b);

4b) (aj 1). (A »1). (A 2 K ¤); 5a) aj 0;

5b) (0 ja). (A = 0);

6) (ajb) ^ (a 0 »a) ^ (b 0» b)) (a 0 jb 0);

7) (ajb) ^ (AJC)) (a j b + c; b ¡c; b ¢ c);

x 37 divizare cu rest în inelul polinom 339

8a) (ajb)) (a ¢ c j b ¢ c);

8b) (a ¢ c j b ¢ c) ^ (c = 0 6)) (ajb).

Dovada. Unele dintre proprietățile prezentate sunt evidente, unele sunt deja explicate mai sus. Dovedim proprietăți de 3, 6, și 8b. Restabiliți restul probelor ca un exercițiu util și simplu.

Proprietatea 3. În cazul în care o »b. există un element de reversibil 2 K. u astfel încât b = au; în cazul în care, la înmulțirea u ¡1; obține: a = bu ¡1. Prin urmare, valabil atât ajb; și BJA:

Pe de altă parte, în cazul în care ajb și BJA; există elemente c; K. 2 d astfel încât b = ac și a = bd; Prin urmare, (folosim legea asociativă), care a = a (cd) și b = b (cd). În cazul în care cel puțin unul dintre elementele unui; b este non-zero, atunci se aplică proprietatea anulare (36.16a), obținem 1 = cd (sau 1 = dc). Prin inel comutativ, oricare dintre aceste ecuații este echivalentă cu reversibilitatea ambelor elemente, c și d; și, prin urmare, presupune asocierea elementelor a și b: Dacă a = b = 0; nu este nimic pentru a dovedi: egalitatea elementelor implică asocierea acestora.

Rețineți că numai a dovedit că proprietatea este oarecum neobișnuit: înrădăcinat (eliberat din domeniul numerelor naturale), convingerea că, dacă se divide b și b împarte; apoi a = b: Deja în inelul de numere întregi nu este așa! (Ce?)

Proprietatea 6. Am b = ac; a = 0 și au b 0 = bv pentru unele c 2 K; u; v 2 K ¤. Prin urmare, b = 0 (ac) v = (a u ¡1 0) cv = a 0 c 0; unde c 0 = cu ¡1 v; un divizibilitate jb 0 0 dovedit.

8b Proprietatea. Separabilitatea acjbc implică existența acestui element d 2 K; că bc = acd: Ipoteză c 6 = 0, permițând proprietăți de reducere este acum implică b = ad. și, prin urmare, AJB: ¤

Notă 37.3. Proprietățile formulate și a demonstrat mai sus, avem nevoie în primul rând în ceea ce privește inelul polinoamelor peste câmp. De exemplu, doi mutual polinom divide unul pe altul dacă și numai dacă acestea sunt asociate (proporțional); constantă nenul și numai ei împărtășesc toate polinoamele, și așa mai departe .. În inele din beton, există, de asemenea, unele proprietăți specifice ale relației de divizibilitate. De exemplu, în inelul de întregi fapt ajb (pentru non-zero, a și b) implică inegalitatea jaj 6 JBJ; și un inel polinom P [x] divizibilitatea f (x) jg (x) [pentru non zero f polinomul (x) și g (x)] implică inegalitate pentru gradele lor: deg (f (x)) 6 ° (g (x )).

Notă 37.4. Maple are un sistem de test verifică dacă funcția de un polinom altor acțiuni. De exemplu, în cazul în care

condițiile din exemplul 37.2 dial:

sistemul va afișa:

Valoarea „adevărat“ ne-ar fi dacă ne-ar avea fjg: Uita-te pentru versiunea „modulară“ a comenzii pentru a reveni (în

divizibil caz divizibilitate) q privat:

> Divide (x 3 + x 2 + 2 ¤ x + 3, x + 2, 'q') mod 5;

(Consultați calculul prin înmulțirea coeficientului de împărțitor modulo 5.)

Algoritmul x 38. Euclid pentru găsirea celui mai mare divizor comun

un inel de polinoame peste un câmp

38.1. Conceptul de cel mai mare divizor comun în întregul inel. Stare Bézout. Fie K un inel integral; o; b arbitrar două dintre elementul inel.

Definiția 38.1. Cel mai mare divizor comun (GCD) a elementelor a și b se numește un divizor comun, care este divizibil cu orice divizor comun.

(În cazul Z, acest inel de mai sus definiție nu coincide în totalitate cu cea dată în prefață: Se cere ca GCD a fost număr natural Dacă abandona această ipoteză, s-ar părea că, pentru două numere întregi, nu există o singură NOD valoare și două exemplu .. ca 3 și 3 sunt valori ¡GCD pentru numerele 12 și 15. această abordare este corectă din punct de vedere al algebrei general.)