Seriile Fourier generalizate - studopediya

Descrierea matematică a spectral metode de descompunere SEMNALUL

Sistemul infinit de zero, non-funcții reale

Acesta a spus să fie ortogonale pe intervalul [a, b], dacă

Această condiție (2.2) exprimă un sistem de funcții ortogonale reciproc (2.1).

Interval [a, b] se numește intervalul funcțiilor sistemului ortogonalitate.

Se numește funcție normală.

Funcția pentru care condiția

Se numește funcția normalizate și sistem normalizat de funcții (2.1), pentru două funcții pe care starea ortogonalitate (2.2) este numit un sistem ortonormal.

Este dovedit faptul că, dacă o funcție este o funcție continuă pentru care arbitrară pe porțiuni următoarea condiție:

Acesta poate fi reprezentat ca o sumă a unui număr de

Coeficienții (2.6) sunt definite prin formula:

Astfel, un număr de (2.6), în care coeficienții sunt definiți de (2.7), se numește seria Fourier generalizată pentru sistem. Setul de coeficienți se numește spectrul semnalului în domeniu și sistemul complet ortogonale definit de acest semnal.

serii Fourier generalizate are următoarele proprietăți importante: sistemul de funcții predeterminate și un număr fix de termenii seriei (2.6) oferă cea mai bună potrivire (în sensul de eroare minim medie pătratică) a funcției. Acest lucru înseamnă că eroarea standard, ceea ce înseamnă o valoare

atinge un minim atunci când coeficienții seriei

Acest fapt implică o relație fundamentală, care este valabil pentru orice sistem ortogonală, care se numește inegalitatea lui Bessel:

Sistemul ortogonală este complet în cazul în care creșterea numărului de termeni ai seriei face posibilă pentru a face eroarea pătratică medie M (2,8) este arbitrar mic. starea completitudine poate fi exprimat ca raportul dintre:

numita teorema lui Parseval. În cazul în care condiția (2.10) putem presupune că seria (2.6) converge în medie:

Din aceasta, cu toate acestea, nu este faptul că seria converge la toate valorile lui x.

Principalul interes practic este sisteme complete ortonormate de funcții, ca sisteme incomplete nu permit convergența extinderea funcțiilor pătrate integrabilă. Dar, în ciuda acestui fapt, sunt de asemenea utilizate unele sisteme parțiale. De exemplu, tensiunea de ieșire a unui filtru ideal pentru low-pass poate fi reprezentat cu precizie printr-o serie de expansiune în setul de funcții ortogonale incomplet