Patru Quartet - o

Patru Cvartetul - un puzzle matematic pentru a găsi cea mai simplă expresie matematică pentru fiecare număr întreg de la 0 la unele maxim, folosind un simboluri matematice comune și a numerelor patru (fără alte numere nu sunt permise). Cele mai multe versiuni ale „patru patru labe“ cere ca fiecare expresie are exact patru în patru labe, dar unele variații impun ca fiecare expresie a fost un număr minim de patru labe.

Există mai multe variante ale acestui puzzle. diferența lor principală este faptul că unele operații matematice sunt permise. Practic, toate variantele permit cel puțin adăugarea ( „+“), scădere ( „-“), multiplicare ( «x»), divizare ( «÷»), și suporturile, precum și combinarea (de exemplu, intrarea „44“ este permisă) . Cele mai multe, de asemenea, permite factorial ( „!“), Puteri (de exemplu, „44 4“), un punct zecimal ( „“) și rădăcina pătrată ( «√»), deși, uneori, rădăcina pătrată excluse în mod specific, pe motiv că destinate „2“ pentru rădăcina pătrată. Alte operații sunt permise în unele exemple de realizare, inclusiv subfaktorial (înainte de numărul "!": 4 este 9) praymorial ( "#" după numărul, de exemplu, 4 # este 6), "()" sau "bara de deasupra" (SEQ repetând la nesfârșit cifre), o rădăcină de orice grad, funcția gamma (gamma (), unde gamma (x) = (x - 1)) și procentul ( "%")!. Astfel, 4/4 = 100% și Γ (4) = 6. Bara are valoarea:

De regulă, nu este permisă utilizarea de logaritmi, deoarece există o modalitate de banal de a exprima orice număr atunci când îl utilizați. Pol Burk, citând Ben-Rudyaka Gould, a descris utilizarea logaritmului natural (ln ()) pentru a reprezenta orice număr întreg pozitiv n:

Există opțiuni suplimentare (de obicei cu un alt nume): înlocuirea unui set de numere ( „4, 4, 4, 4„) la celălalt, să zicem, anul nașterii cuiva. De exemplu, varianta de realizare folosind „1975“ ar necesita, în ceea ce privește utilizarea pentru fiecare 1 singură 9, un 7 și 5.

Aici este un set de soluții de patru în patru labe pentru numere de la 0 la 20, utilizând regulile standard. Unele soluții alternative sunt de asemenea indicate aici, deși, de fapt, există o mulțime de decizii bune.

Există, de asemenea, multe alte moduri de a reprezenta.

Trebuie acordată atenție pentru a înregistra câteva zecimale. De exemplu, „0.4“ este scris de obicei ca“.4" . Acest lucru se datorează faptului că „0“ - aceasta este cifra, ci doar „4“ numere de telefon pot fi folosite în acest puzzle.

număr specificat, de obicei, au mai multe soluții posibile, precum și orice soluție care respectă regulile este acceptabilă. Unele opțiuni preferă numărul „mai mic“, a operațiunilor, sau preferă alte operații. Alții preferă pur și simplu la decizii „interesante“, care este un mod uimitor de a atinge obiectivul.

Unele numere, cum ar fi 113 și 123, sunt deosebit de dificil de rezolvat în cadrul normelor comune. Pentru 113, Wheeler oferă Γ (Γ (4)) - (4 + 4!) / 4-123, Wheeler sugerează, spunând:

Folosind procentul ( "%") permite soluții la un număr mult mai mare de numere, cum ar fi 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%. Prin urmare, nu toate cazurile în care este permisă.

probleme algoritmice

Această problemă și generalizările sale (de exemplu, „pentade cinci“ și „șase sixes“ așa cum este arătat mai jos) poate fi rezolvată printr-un algoritm simplu. Pentru a rezolva necesitatea de a construi un tabel hash. care afișează un șir de număr. În aceste tabele, cheie numere pot fi reprezentate ca unele combinații valide pentru operatori și simboluri d. care desemnează, de exemplu, patru, și valori care sunt șiruri care conțin expirat formulă. Există un tabel pentru fiecare număr de n ori d. De exemplu, când d = 4, un tabel hash pentru cele două apariții ale lui d vor conține perechi de genul: cheie-valoare de 8 și linia 4 + 4 și trei intrări - de exemplu, o pereche de ca o astfel: linia cheie-valoare 2 (4 4) / 4 (linie îngroșată). Problema se reduce apoi la un calcul recursiv al tabelelor hash povysheiem n, începând cu n = 1 și continuând până când, de exemplu, n = 4. Tabele pentru n = 1 și n = 2 sunt triviale, deoarece ele conțin elemente primitive. De exemplu, când n = 1, obținem:

În prezent există două moduri în care un nou record poate fi generată ca o combinație a celor existente, folosind operatori binari, fie prin aplicarea rădăcinii factorial sau pătrat (care nu folosesc copii suplimentare d). În primul caz luate în considerare, și toate se deplasează perechea de subexpressions care sunt utilizate în totalul cazurilor II. De exemplu, când n = 4. ne-ar dori să verifice (a, b) cu un. care conține o instanță d. și trei b. sau. conține două copii ale b și d 2 cu d. Ne-ar putea apoi să intre a + b, a-b, b-o, a * b, a / b, b / a) într-un tabel hash, inclusiv paranteze, pentru n = 4. Aici o pluralitate de A și B conțin, respectiv, a și b. calculat recursiv pe baza n = 1 și n = 2. Memoization utilizate pentru fiecare valoare a tabelei hash se calculează o singură dată.

În al doilea caz de prelucrare (factorial și rădăcini) se efectuează prin funcția auxiliară, care este numită de fiecare dată când valoarea V este scris. Această funcție calculează V imbricată factorial și rădăcini până la o anumită adâncime maximă, un număr limitat.

Ultimul pas al algoritmului constă în iterații în tabelul cheie pentru valoarea n dorită. și primirea și sortarea acelor chei care sunt numere întregi. Acest algoritm a fost folosit pentru a calcula exemplele de „pentade cinci“ și „șase sixes“ de mai jos. De fiecare dată aleasă formula mai compact (în ceea ce privește numărul de simboluri de valori corespunzătoare), atunci când o tastă apare mai mult decât o dată.

Extras din soluția problemei cu cinci cinciari

Extras din decizia sarcina cu șase șesari

În tabelul următor, înregistrarea ... .6 reprezintă valoarea 6/9 sau 2/3 (fracție periodică 6).