O matrice pătrată și determinant său
Matricea se numește inversa unei matrice pătratică A. Dacă
matrice pătrată Zamechanie.Tolko are un invers eu cu ea aceeași ordine, dar nu orice matrice pătrat are un invers.
Dacă determinantul este nenul. matricea pătrat se numește nedegenerat (nesingular); daca determinantul este zero, matricea degenerate (special).
Teorema (condiții necesare și suficiente pentru existența matricei inverse). Matricea inversă există (și este unic), dacă și numai dacă matricea inițială este non-singular.
Un algoritm pentru calcularea matricei inverse:
1. Găsiți determinantul matricea originală (dacă este zero, matricea inversă nu există).
2. Găsiți matricea A“. transpune A.
3. Determinarea cofactori elementelor matricei transpuse și le combină într-o matrice atașată.
4. Se calculează matricea inversă cu formula
.
5. Verificarea corectitudinii calcularea matricei inverse
Exemplu .. Calculati matricea inversă.
1. Există o altă metodă de determinare a matricei inverse - folosind transformări elementare. Pentru a face acest lucru într-o matrice. unde E - identitatea același ordin. A transformări elementare convertite în unitatea E; în care matricea unitate însăși E. supusă aceleiași transformări, se transformă în matricea inversă. Asta este, vom obține.
2. Matricea elementară:
1) îndepărtând rândul zero (coloana);
2) multiplicarea elementelor rând (coloana) într-un număr egal cu zero;
3) schimba ordinea rândurilor matricei în calcularea determinantului își schimbă semnul său) (coloana) (specificație schimba ordinea rândurilor (coloane.);
4) adăugarea fiecărui element al unui rând (coloana) a elementelor respective ale unui alt rând (coloană), înmulțit cu orice număr întreg;
3. Două matrici sunt echivalente dacă unul se obține dintr-o alta printr-un număr finit de transformări elementare.
Prin urmare, există o matrice inversă. Ne găsim drumul descris în observația.
(Deoarece coloanele au fost interschimbate, transformarea ulterioară se realizează cu coloane; zeroize primele elemente ale coloanelor doilea și al treilea, adăugarea lor la primul, respectiv înmulțit cu (-2) și 1, etc.)
.
4.Ponyatie minor pentru a-lea ordin. matrice Rank (definiție). Calculând rangul matricei prin transformări elementare. Exemplu.
Mărimea matricei A prin ștergerea rândurilor și coloana (sau) pentru a izola posibila submatrice pătrat ordin k. Determinanții astfel de matrici sunt numite minori ai matricei ordine k.
Notă. Acesta ar trebui să distingă noțiunea de „matrice element minor“ (a se vedea. P.2) și „matrice Minor“.
Rangul matricei A (r (A)) este numit cel mai înalt ordin minori nenuli această matrice.
Definiția presupune:
1) rangul nu depășește cea mai mică dintre dimensiunea sa, adică, ;
2) r (A) = 0 numai pentru o matrice zero;
3) pentru o matrice pătrată de ordinul n r (A) = n dacă și numai dacă. când un non-degenerate, adică, .
Exemplu. Se determină gradul de matrice
.
Decizie. Selectăm din matricea tuturor minorilor posibile:
minori de ordinul doi
. . - ei sunt toți egali cu zero, atunci rangul matricei poate să nu fie egală cu 2;
minori de prim ordin:
etc. - printre ele este nenul, deci, r (A) = 1.
În cazul în care dimensiunea mare a matricei pentru a determina căutarea rang al tuturor minorilor destul de laborioase. Luați în considerare alte moduri.
Teorema. Rangul matricei nu este schimbată de transformările sale elementare.
Folosind această teoremă, este, în general, pentru a determina rangul unei matrice se recomandă utilizarea unei metode de transformări elementare, care constă în faptul că, cu ajutorul unor transformări elementare (vezi. P.3) matrice dat A conduce la eșalonul de formă
iar numărul de rânduri nenule în matricea obținută este gradul său de viteză.
Notă. Dacă matricea M> n, atunci pentru transformări elementare șiruri mai bine matricea pre-transpusa.
Exemplu. (La zero în prima coloană a tuturor cu excepția primei, prima linie a matricei este înmulțită cu 2 și adăugați-l la al treilea și apoi adăugați în sus prima linie la a patra) =
= (Acum zero, în a doua coloană toate numerele, cu excepția primele două, pentru această a doua linie este multiplicat cu (-3) și se adaugă în sus primul cu al treilea, apoi al patrulea).
Numărul de rânduri de zero în matricea viteza rezultată este egal cu 2, în consecință, r (A) = 2.