O comparație a idealului

Teorema 1. Proprietățile comparației ideal.

1 °. Comparație între ideal este o relație de echivalență.

2 °. O comparație a idealului este în concordanță cu adaos.

3 °. pentru comparația ideală este în concordanță cu multiplicare.

4 °. Clasele de echivalență prin compararea raportului dintre tipul ideal au Ka = I + o.

Teorema 2. set-definition A / I de clase de echivalență este relativ Operațiuni inel Å și ÄCare sunt definite după cum urmează: (I + a)Å(I + b) = I + (a + b), (I + a)Ä(I + b) = I + (a x b).

Acest inel este numit un inel câtul A de I. ideală á A / I; Å. Äñ.

Teorema 3. Structura inelelor clasei de reziduuri.

2 °. Dacă m - numărul de compozit, apoi Zm conține zero divizori.

3 °. Fiecare inel Zm element de non-zero, este fie o unitate divizorul zero sau divizor (elementul reversibil).

Morfisme și epimorphisms inele. Teorema pe epimorphisms

Exemple de proprietăți, care determină protozoare (grup) omomorfismelor ale inelelor. kernel-ul. Ker f.

TEOREMA 1. Nucleul unui inel ideal.

Teorema 2. Harta definiție-j: A ® A / I de regula j (a) = I + o este pe inele. Aceasta se numește naturală epimorfism epimorphic inelul A la inelul A câtul / I.

Teorema 5. Teorema pe epimorphisms.

Dacă f. A ® A1 - inele epimomorfizm, I = Ker f. j: A ® A / I - epimorfism natural, atunci există mai mult decât atât singura q un izomorfism: A / I ® A1. având proprietatea f = q ° j.

CAPITOLUL 17. Elemente ale teoriei divizibilitate în inel integrantă

Divizibilitatea în relație solidară cu inelele.

Caracteristicile standard ale relațiilor divizibilitate.

Elemente reversibile (divizori unități) inel.

Teorema 1. Setul G elemente inversabile ale unui grup relativ comutativ operațiunilor de multiplicare.

Elemente simple și constituente ale inelului.

Teorema 2. Proprietatile relației de asociere.

1 °. Criteriul de asociere: a

2 °. Relația de asociere este o relație de echivalență.

3 °. Clasele de echivalență cu respect asociativitatea au forma Ka = aG.

o Ùp - un simplu element Þ un - un element simplu.

b Ùo - componentă Þ b - un element constitutiv.

Teorema 3. Comunicarea cu principalele idealurile teoriei divizibilitatea.

idealurile Prevederilor. GCD și idealurile NOC.

Teorema 4. Existența și NOD idealurile NOC.

1 °. Orice două inele ideale au GCD. Ele este suma acestor idealuri.

2 °. Orice două inele ideale au NOC. Le este intersecția acestor idealuri.

Prime factorizarea în inele

Prime factorizarea: în esență, același lucru; în mod semnificativ diferite. Inele factorizarea unic (= inel factorial). Inele cu dezintegrare mixtă. Inele fără descompunere. CDF. Knor. CBD.

1. Z - inel factorizarea unic (numărul modulo MMI).

2. Z [] - expansiune Inel cu ambiguă.

MMI a dovedit cea mai mare capacității de descompunere ambiguitate norma rezultă din faptul că 4 = 2 x 2 = (1+) x (1), în care numărul 2, 1+ și 1- - componente simple, neasociate.

3. ÈZ []: k ÎN> - inel fără descompunere: elementul 2 nu are nici o factorizare sfârșit.

Inel ideal pentru Principal

1. Z este un domeniu principal ideal.

2. R [x. y] nu este un domeniu principal ideale: (x) + (y) nu este un ideal principal.

TEOREMA 1. Principalul inel ideală

1 °. Orice două elemente au un GCD și au un NOC.

2 °. Orice două elemente GCD și LCM asociate.

3 °. Dacă d - elemente NOD a și b. atunci există u. v astfel încât egalitatea d = + vb ua.

Elemente relativ prime.

Teorema 2. Proprietatile sunt elemente relativ prime.

1 °. Criteriul de ușurință reciproce. Elemente și b inele de idealuri principale sunt relativ prim dacă și numai dacă există u. v. astfel încât egalitatea 1 = + vb ua.

2 °. În cazul în care elementele A și c. și b și c - sunt relativ prime, atunci elementele unei × b și - ca prim reciproc.

3 °. În cazul în care o x a și bc și - elemente mutual prime, atunci bc.

proprietăți Generalizarea 1 ° -4 ° la orice număr finit de elemente.

Contraexemple la proprietățile de 3 ° și 4 ° nu elemente prime între ele.

Teorema 3. Proprietatile elementelor simple.

1 °. pa Ùp - un simplu element Þ o ÎG Úo

2 °. În cazul în care p1 și p2 - elemente simple, iar acestea nu sunt asociate, nici unul dintre ei este divizibil cu o alta.

3 °. ( "A) (" p) (p - simplu element ® ap Úși p - elemente prime între ele).

Teorema 4. Inelul Principalele idealuri secvență elemente a1. a2. o. în care fiecare element este un divizor de anterior și nu sunt asociate cu acesta, conține un număr finit de elemente.

Teorema 5. Fiecare inel ideală principal este inel factorial.

Lema. În inelul de idealuri principale fiecare element ireversibil diferite de zero, are un divizor prim.

Determinarea inelului euclidiană. Norma.

Exemple inele euclidiene.

TEOREMA 1. Orice inel euclidian este un domeniu principal ideal.

Teorema 2. In ultimul reziduu de inel Euclidian nenulă generalizat algoritm euclidiană două elemente este GCD acestor elemente.