Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin

Obținem - această formulă este vectorul principal și calcularea vectorului nazyvaetsyaRazlozhenie al vectorilor unitare axelor de coordonate. numerele

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
nazyvayutsyakoordinatami vector a.

Proiecțiile vectorului pe axele de coordonate sunt numite coordonatele sale. Aceasta este semnificația lor geometrică.

Ecuația vector este uneori scris în formă simbolică

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
.

Cunoscând proiecția vectorului poate găsi cu ușurință lungimea sa, și anume, modul. Pe baza teoremei privind lungimea casetei în diagonală.

Ie vector unitate este rădăcina pătrată a sumei pătratelor proiecțiile pe axele. coordonate.

Lăsați unghiurile vectoriale cu axele de coordonate respectiv

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
. Conform previziunilor de proprietate pentru a avea axul. (*)

colțuri Opr.12Kosinusy care formează un vector de axele de coordonate, nazyvayutsyanapravlyayuschimi kosinusamivektora.

Dacă vectorul este dat în avion, atunci.

Ei au o proprietate remarcabilă:

.

Din formulele (*) implică faptul că coordonatele vectorului unitate sunt cosinusului direcție, adică .

5. Acțiuni asupra vectorilor în formă componente

Pentru orice punct din DSC coordonatele OM-radius-vector sunt coordonatele sale

Dacă la începutul vectorului nu coincide cu originea, dar coordonatele cunoscute ale Start A și punctul final B, coordonatele vectorului

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
Ele reprezintă diferențele de coordonate similare ale punctelor sale de început și de sfârșit.

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin

.

Acest spațiu bidimensional (R2).

În mod similar, în spațiul tridimensional. dacă

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
,,

În cazul în care coordonatele cunoscute ale vectorului

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
, atunci magnitudinea sa este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor.

.

De cosinusului direcție ale fiecărui vector sunt calculate prin următoarele formule:

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
.

Dacă vectorii

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
și
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
coliniare, atunci coordonatele corespunzătoare ale acestora proporțional:
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
.

Opusul este adevărat, și anume, în cazul în care relația,

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
.

§3. spațiu vectorial dimensional N. dependență liniară și independența vectorilor.

N - spațiu vectorial dimensional.

2. dependența lineară și independența vectorilor

3. Baza spațiului vectorial. Extinderea vectorului în baza

spațiu 1.N- vector dimensional

Să presupunem că avem un sistem

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
vectori:
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin

tip Opr.13 .Vyrazhenie :, (3.1) unde

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
-numere reale, nazyvaetsyalineynoy

vectori Opr.14.Sistema

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
nazyvaetsyalineynonezavisimoy dacă o combinație liniară (3.1) este egal cu zero, cu condiția ca toți
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
= 0, adică, . (3.2)

Dacă o combinație liniară (3.1) este egal cu zero, cu condiția ca cel puțin unul dintre numerele

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
, sistemul de vectori (3.1) nazyvaetsyalineyno dependente.

Dacă sistemul conține mai mult de un vector

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
, relația liniară înseamnă că cel puțin unul dintre vectorii sistemului poate fi reprezentat ca o combinație liniară de alte sisteme vectoriale. Într-adevăr, să presupunem că vectorii
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
liniar dependente și lăsați
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
. Apoi putem împărți în ambele părți (3.2) la
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
care exprimă vectorul
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
prin alți vectori; și anume o prezintă ca o combinație liniară:

.

În cazul în care toți membrii (3.3) pentru a trece la o parte, constatăm că o combinație liniară este egală cu zero, cu condiția ca coeficientul vectorului

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
Acesta este diferit de zero. Acesta este egal cu (-1).

Vyvod.Esli cel puțin unul dintre vectorii este o combinație liniară (de exemplu, exprimat în termeni de celălalt), atunci întregul sistem de vectori este liniar dependent. Condițiile necesare și suficiente pentru dependența liniară a celor doi vectori pe un plan (în prostranstveR2) este coliniaritate lor, și în spațiul tridimensional (R3) - coplanarității lor.

Un sistem format dintr-un vector (R1 spațiu) este dependentă liniar, dacă vectorul este zero, iar dacă aceasta este diferită de zero - adică liniar independent.

În spațiul

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
(Pe o linie) sunt sistem liniar independent nu poate conține mai mult de un vector, adică, Un sistem de două (sau mai multe), vectorii sunt întotdeauna liniar dependente.

În spațiul

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
(În plan) sistem liniar independent nu poate conține mai mult de doi vectori, adică, Orice sistem de trei (sau mai mulți) vectori este liniar dependent.

Dacă există un spațiu liniar

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
vectori liniar independenți, și orice
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
vectori sunt liniar dependente, atunci spațiul se numește finit dimensional dacă spațiul liniar astfel încât există un sistem de număr arbitrar de mare de vectori liniar independenți, acest spațiu se numește infinit.

Numărul maxim posibil de vectori liniar independenți într-un spațiu finit-dimensional este dimensiunea acestui spațiu. În cazul în care dimensiunea spațiului este

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
, este numit
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
- dimensională (
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
).

Opr.15.Sistema

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
vectori liniar independenți
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
- dimensională de spațiu spațiu nazyvaetsyabazisometogo.

Vectorii de bază pot fi descompuse în orice spațiu vectorial, cu un mod unic.

Descompună bază vector vectori - este să se prezinte ca o combinație liniară a vectorilor această bază.

În cazul în care baza este

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
vectori liniar independenți
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
, apoi extinderea oricărui vector
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
pe această bază este după cum urmează :. (3.4)

Coeficienții acestei extinderi, și anume, Număr nazyvayutsyakoordinatami vector

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
în această bază.

Pentru a găsi aceste numere trebuie să instituie un sistem de

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
- liniar ecuații cu aceste necunoscute, și să o rezolve.

Fiecare ecuație este compus cu formula (3-3) din coordonatele respective ale acestor vectori.

EXEMPLU EXEMPLU Având în vedere vectorii:

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
;
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
;
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
;
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
.

Arătați că vectorii

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
se descompun și formează un vector bază
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
pe această bază.

Decizie. vectori

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
formează o bază de spațiu tridimensional, în cazul în care acestea sunt liniar independente, deci trebuie să determinantul coordonatele acestor vectori. Dacă este zero rândul său (și, prin urmare, vectorii) sunt liniar dependente, adică ele nu pot forma o bază, dacă determinantul nu este zero, vectorii sunt liniar independenți și formează o bază.

vector descompus

Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
pe baza
Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
- acest lucru înseamnă să-l prezinte ca o combinație liniară a acestor vectori:

. (*)

Deoarece vectorul vectorilor de bază obținute prin formula (*), atunci fiecare dintre ei coordonate se obține din coordonatele corespunzătoare ale acestor vectori în aceeași formulă (*).