Metoda iterația simplă pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare (Slough)

Metoda de repetare simplă, numită, de asemenea, metoda de aproximare succesive, - un algoritm matematic pentru identificarea valorilor necunoscute valoare printr-o treptată a clarifica aceasta. Esența acestei metode este faptul că, după cum sugerează și numele, se exprimă treptat o aproximare inițială a celor ulterioare, sunt din ce în ce mai multe rezultate rafinate. Această metodă este utilizată pentru a găsi valoarea variabilei într-o funcție dată, și sisteme de ecuații de rezolvare, atât liniare și neliniare.

Să vedem cum este pusă în aplicare această metodă în soluția sistemelor liniare. -Punct fix algoritm iterație este după cum urmează:

1. Verificarea condițiilor de convergență din matricea inițială. O teorema de convergență: dacă matricea sistemului original este diagonal dominant (adică, fiecare rând de elemente ale diagonalei principale trebuie să fie mai mare magnitudine decât suma elementelor diagonalelor laterale în valoare absolută), metoda de iteratii simple, - convergente.

2. Matricea sistemului original nu este întotdeauna predominanța diagonală. In astfel de cazuri, sistemul poate fi transformat. Ecuațiile care satisfac condiția de convergență este lăsat intact, cu nesatisfacator și face combinații liniare, adică se multiplica, scade, ecuația îndoite împreună pentru a produce rezultatul dorit.

Dacă sistemul care rezultă în diagonala principală sunt factori neconvenabile, apoi ambele părți ale acestei ecuații sunt termenii formei ci * xi, semnele care trebuie să coincidă cu semnele elementelor diagonale adăugate.

3. Conversia sistemului rezultat la vizualizarea normală:

x - = β - + α * x -

Acest lucru se poate face în mai multe moduri, de exemplu: din prima ecuație de a exprima x1 prin alte necunoscute de la x2 vtorogo-. de x3 tretego- etc. Astfel, noi folosim formula:

i = bi / aii
Asigurați-vă din nou că sistemul rezultat de tip normale corespunde condiției de convergență:

Σ (j = 1) | αij | ≤ 1 și i = 1,2. n

4. Începe folosit, de fapt, metoda aproximări succesive.

x (0) - aproximare inițială, ne exprimăm x prin el (1). Mai departe de x (1) x expres (2). Formula generală a unei forme de matrice, după cum urmează:

Calculăm, până când vom ajunge la precizia dorită:

Deci, să ne uităm în practică, metoda de repetare simplă. exemplu:
Rezolva sisteme liniare:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 cu precizie ε = 10 -3

A se vedea, în cazul în care prevalează elementele diagonale ale modulului.

Vedem că această condiție de convergență este îndeplinită de o a treia ecuație. Prima și a doua transformare, prima ecuație se adaugă două:

Scădeți din al treilea:

Am transformat sistemul original în echivalent:

Acum reducem sistemul la vizualizarea normală:

Verificăm convergența procesului iterativ:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1. adică condiția este îndeplinită.

0.3947
aproximare x inițială (0) = 0.4762
0.8511

Substitut aceste valori în ecuația de tip normal, obținem următoarele valori:

0.08835
x (1) = 0.486793
0.446639

noi valori de substituție, obținem:

0.215243
x (2) = 0.405396
0.558336

Vom continua să calculeze până la până când se apropie de valorile care îndeplinesc condițiile specificate.

Verificați corectitudinea rezultatelor:

Rezultatele obținute prin substituirea valorilor obținute în ecuația originală, satisface pe deplin ecuație.

După cum putem vedea, simpla metoda de repetare dă un rezultat destul de precise, dar pentru a rezolva această ecuație, a trebuit să-și petreacă o mulțime de timp și de a face calcule greoaie.