Metoda de integrare de către părți
Literatura: Colectia de probleme în matematică. Partea 1. Editat de A. V. Efimova, BP Demidovich.
Dacă $ u (x) $ și $ v (x) - $ funcții diferențiabile, atunci următoarea formulă de integrare de către părți. $$ \ int u (x) v '(x)', dx = u (x) v (x) - \ int v (x) u „(x) dx, $$
Sau în prescurtare $$ \ int u \, V = UV- \ int v \, du. $$
Această formulă este utilizată în cazurile în care integrantul $ f (x) dx $ pot fi bine reprezentate în forma $ u \, dv $ pentru a putea găsi $ v = \ int \, $ dv și a obținut dreptul integral $ \ int v \, du $ a fost mai simplu decât versiunea originală $ \ int \ u, dv. $
$$ \ int P_n (x) \ cos mx \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) \ păcatul nx \, dx; $$
unde $ P_n (x) - $ polinom de grad $ n $ de la $ x: $ $ u = P_n (x), și $ dv - $ este tot ceea ce rămâne.
$$ \ int P_n (x) \ ln ^ mx \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) \ arccos x \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) \ arcsin x \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) arctg x \, dx; $$
$$ \ int P_n (x) arcctg x \, dx, $$
unde $ P_n (x) - $ polinom de grad $ n $ de la $ x: $ $ = P_n dv (x) dx, $ și $ u - $ este tot ceea ce rămâne.
Rețineți că, pentru calcularea integrală, prin părți formula integrală pot fi aplicate în mod repetat.
$$ \ int \ arccos x \, dx = \ stânga [\ beginu = \ arccos x \ rightarrow du = - \ frac> \, dx \\ V = dx \ rightarrow v = x \ end \ right] = $$ $ $ = \ arccos x \ cdot x- \ int x \ stanga (- \ frac> \ dreapta) \, dx = x \ arccos x + \ int \ frac> $$.
Calculăm integrala obținută de pe partea dreaptă:
$$ \ int \ arccos x \, dx = x \ arccos x + \ sqrt + C. $$
$$ \ int x ^ 2 \ sin x \, dx = \ stânga [\ beginu = x ^ 2 \ rightarrow du = 2x \, dx \\ V = \ păcatul XDX \ rightarrow v = - \ cos x \ end \ dreapta ] = $$ $$ = - x ^ 2 \ cos x + 2 \ int \ cos x \ cdot x \, dx \, dx = \ stânga [\ beginu = x \ rightarrow du = dx \\ V = \ cos x \, dx \ rightarrow v = \ sin x \ end \ right] = $$ $$ = - x ^ 2 \ cos x + 2 (x \ păcat x- \ int \ sin x \, dx) = - x ^ 2 \ cos x + 2x \ sin x + 2 \ cos x + C. $$
$$ \ int x ^ 3 e ^ \, dx = \ stânga [\ beginu = x ^ 2 \ rightarrow du = 2x \, dx \\ V = xe ^ dx \ rightarrow v = \ int xe ^ \, dx \ end \ dreapta]. $$
Să $ \ int e ^ \ cos bx \, dx = $ I. Apoi rescrie egalitatea obținută după cum urmează:
$$ \ int \ cos (\ ln x) \, dx = \ stânga [\ beginu = \ cos (\ ln x) \ rightarrow du = - \ frac \ sin (\ ln x) \, dx \\ V = dx \ rightarrow v = x \ end \ right] = $$ $$ = \ cos (\ ln x) x- \ int x \ cdot \ stânga (- \ frac \ sin (\ ln x) \ dreapta) \, dx = x \ cos (\ ln x) + \ int \ sin (\ ln x) \, dx. $$
$$ \ int \ sin (\ ln x) \, dx = \ stânga [\ beginu = \ sin (\ ln x) \ rightarrow du = \ frac \ cos (\ ln x) \, dx \\ V = dx \ rightarrow v = x \ end \ right] = $$ $$ = \ sin (\ ln x) x- \ int x \ cdot \ stânga (\ frac \ cos (\ ln x) \ dreapta) \, dx = x \ sin (\ ln x) - \ int \ cos (\ ln x) \, dx $$.
Astfel, $$ \ int \ cos (\ ln x) \, dx = x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x) -. \ Int \ cos (\ ln x) \, dx $ $
Să $ \ int \ cos (\ ln x) \, dx = $ I. Apoi scrie în jos și de a rezolva ecuația
$$ I = x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x) -I \ rightarrow $$ $$ \ rightarrow 2I = x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x) \ rightarrow $$ $$ \ rightarrow I = \ frac (x \ cos (\ ln x) + x \ sin (\ ln x) $$.