Matematica pentru psihologi

acorduri de bază și tabelul de adevăr

Fiecare teorie științifică este un sistem a unor propuneri sau declarații, astfel încât natura lor este infinit de variată. Explorați structura internă a declarațiilor individuale, precum și pentru a da un declarații opredlenie exacte, destul de greu. Este mai degrabă o chestiune de lingvistică decât matematică. Prin urmare, ne limităm la noțiunea intuitivă a ceea ce poate fi considerat un declarații separate și distincte. Una dintre problemele studiate logica matematică, - o combinație de diferite propuneri. În cazul în care două sau mai multe propoziții simple face o nouă ofertă, puteți obține o declarație compus așa-numitele. Aceste declarații, din care sa format, numit componentele sale simple.

Proprietatea principală a fiecărei declarații este că declarația trebuie să fie adevărate sau false, dar nu poate fi adevărat și fals în același timp. Valoarea „true“ va fi notată cu simbolul „1“, „false“ # 9472; "0".

Rețineți că aceeași propoziție, de exemplu, „Astăzi, ploaia,“ poate fi atât de adevărat și fals, în funcție de circumstanțe. Cu toate acestea, există declarații care sunt întotdeauna adevărate sau false întotdeauna. Pentru o declarație compozit este suficient pentru a ști care dintre componentele sale sunt adevărate - care va determina validitatea tuturor declarațiilor.

Astfel, vom explora două întrebări:

1) Ce declarație compus moduri se poate face;
2) Cum se determină valoarea de adevăr a rostirii compozit al valorilor de adevăr ale componentelor sale.

Vom introduce notația necesară. Declarațiile vor fi notate cu litere latine de capital introducem notația necesară. Declarațiile vor fi notate prin litere ale alfabetului, vom introduce notația necesară. Declarațiile vor fi notate cu litere ale alfabetului p. q. r # 8290; etc. Aveți nevoie de mai multe simboluri și operații cu acestea, și anume, un simbol al declarațiilor negare și simboluri combinații (fascicule) declarații. Noi le introducem cu ajutorul unor exemple. Să presupunem că există două declarații simple: „Astăzi fierbinte“ și „vremea este bună.“ Noi le prezintă p și q, respectiv.
Să presupunem că vrem să formeze o declarație compus, susținând simultan corecta ambele afirmații anterioare: „Vremea este astăzi bine și cald.“

Definiție 1. O declarație compusă pretinde adevăr simultană a două propoziții simple, p și q se numește conjuncția.

Bunch conjuncției „și p și q în același timp“ notat p ∧ q.

Acum, ia în considerare o declarație mai prudent, care este valabil cel puțin una dintre cele două afirmații: „Astăzi este cald sau vremea este bună.“

Definiție 2. O instrucțiune compusă, susținând că adevărat în același timp, cel puțin una dintre cele două propoziții p și q. Se numește disjuncție. O adunatura de disjuncție „sau p. sau q. sau ambele „notat p ∨ q.

În cele din urmă, să ne ia în considerare una dintre declarațiile false. De exemplu, noi credem că „Astăzi nu este fierbinte.“ Noi scriem acest simbolic ca „nu p» sau negare și lăsați ¬ p.

Folosind aceste trei acorduri simple putem fi mai multe declarații compuse complexe. De exemplu, ¬ p ∧ q denotă propoziția „Astăzi nu este fierbinte, iar vremea este bună.“

Rostirile adevăr compozit definit valorile de adevăr ale componentelor sale. Stabilirea modului în care adevărul fiecăruia dintre noi ligamente introduse depinde de adevărul propunerilor sale constitutive elementare. Foarte convenabil pentru a reprezenta această relație prin intermediul unor tabele de adevăr. tabelul care poate fi determinată pentru fiecare pachet. Pentru comoditate, le-am combinat într-un singur tabel:

Fiecare dintre cele două situații distincte p și q poate fi fie adevărat sau fals. În consecință, există patru perechi de valori de adevăr pentru cele două declarații simultan. toate combinațiile posibile de perechi de valori sunt prezentate în primele două coloane pentru

p și q. A treia coloană este tabelul de adevăr pentru declarații negare.
Luați în considerare declarația compus al conjunctie p ∧ q. Răspunsul la întrebarea în ce cazuri adevărata această afirmație este, se pare imediat: în cazul în care p și q sunt ambele adevărate, atunci coroborat lor este adevărat, în caz contrar este fals. In tabelul de mai jos a patra coloană reprezintă tabelul de adevăr conjuncției.
Revenind acum la declarația compusului p ∨ q. disjungerea p și q. Acesta susține că există un adevăr de cutare sau cutare afirmație simplă. Astfel, pur și simplu completați în acele linii din tabel, atunci când una dintre cele două afirmații adevărate sau false ambele. Rămâne incert atunci când real, ambele afirmații în același timp. Într-adevăr, spunând „Sunt în Novosibirsk«și»Sunt la Moscova„nu poate fi adevărat simultan. Cu toate că, în cazul în care expresia „voi mânca plăcintă“ și „voi mânca mărul“ este adevărat, atunci nimic nu împiedică ca acestea să fie adevărate simultan. Cu alte cuvinte, în acest caz, ar putea fi adevărat enunț. Pentru a distinge între cele două este destul de utilizare corectă „sau“ pachete, numit prima dintre ele disjuncție, în sensul de a exclude (sau ceva sau altul, dar nu ambele simultan). Un al doilea - disjuncție în sens neexclusive (una sau alta sau ambele). Peste tot în cele ce urmează, folosind simbolul disjuncție, avem în vedere disjuncției în sens non-exclusiv. Ca rezultat, obținem tabelul de adevăr pentru disjuncție, a prezentat a cincea coloană a tabelului.

Să presupunem că vrem să facem o declarație cu anumite condiții: „Dacă vremea este bună, voi merge pentru o plimbare“, „Dacă nu scrie teste, biroul decanului să ia măsuri drastice.“ Fiecare dintre aceste declarații este în forma „dacă p. atunci q ».

3. Determinarea declarație compus care face ca adevărul o simplă declarație este adevărată celălalt se numește implicație.

Definiție 4. O dublă implicație înseamnă că, dacă p este adevărat, atunci q este adevărat, iar dacă p este falsă, iar q este falsă.

Dubla Implicația tabelul de adevăr se face fără dificultate și este reprezentat în ultima coloană a tabelului nostru.

Trebuie remarcat faptul că studiem logica - este de obicei logica formală. În discursul obișnuit, o simplă declarație este de obicei combinat în cazul în care există o legătură între ele. Putem spune: „Dacă astăzi am primit o bursă, apoi du-te la un restaurant.“ Dar noi nu spunem: „Dacă vremea este bună, atunci am primit o bursă.“ Cu toate acestea, această relație depinde de punctul de vedere, și are un caracter foarte obscur. Nu ne vom asuma în considerațiile noastre este nici o legătură internă între declarațiile combinabile. Această utilizare gratuită a implicația, uneori, duce la rezultate care ar putea părea ciudat, din punctul de vedere al vorbirii de zi cu zi. De exemplu, în conformitate cu coloana a șasea din situația tabelelor de adevăr „Dacă 2x2 = 5, vacile trăiesc în luna“ este adevărat, în timp ce afirmația „Dacă 2x2 = 4, atunci vrăjitoarei“ - fals. Am putea lua în considerare astfel de declarații lipsite de sens. Dar trebuie să se înțeleagă că implicația nu înseamnă o grămadă de nici o legătură de cauzalitate. Semnificația implicațiilor definite pe deplin tabelul de adevăr și orice altceva nu implică implicație.

enunț de construcții cu un tabel de adevăr predeterminat

Secțiunea anterioară arată cum să construiască un tabel de adevăr pentru orice declarație compus, care este o combinație de declarații simple. De interes este răspunsul la cealaltă întrebare: cum să construiască un spunând că corespunde adevărului unui anumit tabel. Imediat, observăm că aceste declarații pot fi mai multe, și este evident că acestea trebuie să fie compuse. Construcția unor astfel de declarații nu prezintă o mare dificultate, în plus, în acest caz, puteți utiliza doar cablurile. Pentru un exemplu de astfel de construcție utilizând instrucțiunea compus cu trei variabile. În primul rând vom construi propoziții care sunt adevărate numai pentru una dintre liniile adevărului unui anumit tabel. Astfel de declarații numit conjuncții de bază. Acum observăm că disjuncției a două conjuncțiilor de bază va fi valabil chiar și în cele două cazuri, disjungerea celor trei conjuncțiilor majore adevărate, în trei cazuri, etc. Prin urmare, pentru a construi o propoziție cu dată tabela de adevăr, trebuie doar să ia o disjuncție de bază a conjuncțiilor acestor linii, care, în dat tabelul de adevăr corespunde valorii de adevăr. Această metodă nu duce neapărat la construirea cele mai simple afirmații posibile. Cu toate acestea, ea are avantaje, cum ar fi o metodă mecanică declarațiilor construirea și standardul formei sale. Rezultatul construirea conjuncțiilor de bază prezentate în tabelul 3. Declarația lor disjuncție dă o.