Integrare Integrale binomice

Așa-numita integrala binom este după cum urmează :. Această integrală este luată în trei cazuri.

Primul caz. Cel mai simplu. În cazul în care gradul de - număr întreg.

Reprezentați integrala in forma standard, (acest lucru este cel mai bine realizat în proiect):

Vedem că gradul - ansamblu și, prin urmare, este într-adevăr primul caz. De fapt, integrala binomială din primul tip este rezolvată în același mod ca și integralele în exemplele 5 și 6, astfel încât rezultatul este aproape aceleași soluții nu prea mult sens - trebuie doar să arăt ceea ce este necesar să-și petreacă înlocuire.
Ne uităm la numitorii:

Scrie numitorilor 2, 5. Vom găsi cel mai mic multiplu comun al acestor numere. Evident, acest lucru este de 10: este divizibil cu 2 și 5, în plus - o duzină dintre cele mai mici în acest sens.
După înlocuirea tuturor rădăcinile sunt garantate dispar. Din nou, exemplul primul caz nu este, deoarece acestea sunt foarte asemănătoare cu integralele recent dezafectate.

Dacă - număr întreg, este necesar să se înlocuiască. unde - numitorul fracției.

Calm, dar calm, acum peste tot fata ei.

Găsiți nedefinită integralei

Reprezentarea integralei în formă standard de:
. În general vorbind, înregistrare punct de vedere tehnic mai corect. dar rearanjarea termenilor între paranteze nu contează.

Scriem gradul:
. .
verifica imediat pentru a vedea dacă integrala noastră aparține primul caz?
- un întreg? Nu.
Verificăm al doilea caz:
- întregi, atunci avem de-al doilea caz
Conform regulii pentru al doilea caz, este necesar să se efectueze înlocuirea. unde - numitorul fracției. În acest exemplu. iar numitorul acestei fracțiuni este egal cu „doi“. Deci, pentru a scăpa de rădăcină este garantată, este necesar să se efectueze înlocuirea.

Asigurați schimbarea.
După această substituire rădăcinile vom fi toți Gud:
Acum trebuie să ne dăm seama ce se va transforma partea rămasă din integrandul
Luăm bancă noastră și atârnă diferențialele de ambele părți:

Dar apoi, ghinion, avem. și trebuie să-și exprime.
Înmulțiți ambele părți prin:

Astfel :. Asta e mai bine, dar aș dori doar să-și exprime prin. și pe partea dreaptă - „X“ în caseta de mai jos. Ce să fac? Ne amintim substitutul nostru și extinde dreptul de ea la noi.
În cele din urmă :. Încurcat, dar, din păcate, alți algoritmi sunt chiar mai complicate.

De fapt, totul este gata, vom continua decizia:

(1) se efectuează în conformitate cu înlocuirea substituției.

(2) scrie compact numarator.

(3) Suma Spread numitor.

(4), termenul de termenul divide numărătorul la numitor.

(5) integrarea deasupra mesei.

(6) Efectuăm schimbarea inversă în cazul în care.

Găsiți nedefinită integralei

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

3) al treilea caz. cele mai dificile

Dacă - număr întreg, este necesar să se înlocuiască. unde - numitorul fracției.

Găsiți nedefinită integralei

Reprezentarea integralei în formă standard de:
.

Am scrie amploarea și ratele:
. . . .

1) Nu include integrantă noastră la primul caz?
- un întreg? Nu.

2) Verificarea al doilea caz:
- un întreg? Nu.

3) - ansamblu! Deci, avem de-al treilea caz.

Conform regulii pentru al treilea caz, este necesar să se efectueze înlocuirea. unde - numitorul fracției. În acest exemplu. și numitorul acestei fracțiuni este din nou „două.“ Coeficienți (fii atent).

Deci, pentru a scăpa de rădăcină este garantată, este necesar să se efectueze înlocuirea.

Cercetat de rădăcini. Acest lucru este mai dificilă decât în ​​cazurile anterioare.
În primul rând, înlocuirea nevoii noastre de a exprima „caseta X“:

Acum substitui rădăcini:

În a doua etapă vom afla ce a devenit din restul integrandul. Luăm bancă noastră și atârnă diferențialele de ambele părți:

Din nou, problema pe partea dreaptă avem „X“, și ne-am exprimat toate în termeni de „te“.
Noi considerăm expresia obținută anterior și exprima
în cele din urmă:

Ca urmare, ne-am exprimat prin „te“ și și. totul este gata pentru continuarea soluției:

(1) se efectuează în conformitate cu înlocuirea substituției.

(2) este expresia simplificată.

(3) schimbări semneze la numitor și să facă mai puțin limitele integralei (nu a putut face acest lucru, dar este mai convenabil).

(4), la înlocuirea inversă. În al treilea caz, binomul integrala este prea dificil. Dacă înlocuiți originalul. atunci.

(5) Eliminarea patru în logaritm.

Găsiți nedefinită integralei

Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Sugestie: aici
O soluție completă și să răspundă numai studenților care au supraviețuit.

Ce se întâmplă dacă integrala binomială nu se încadrează în niciuna dintre cele trei cazuri considerate? Este un caz trist al patrulea. Aceasta integrala este neberuschimsya.

Aproape toate luate în considerare. Există și alte soiuri de integralelor cu rădăcini, dar ele sunt chiar mai rare decât integralele binomiali. Astfel, acest material lecție este suficientă.

Soluții și răspunsuri:

Exemplul 2: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

Asigurați schimbarea :. diferențialele Stai pe ambele părți:



De aceea, diferențialele nevoie de imennoNAVEShIVATna ambele părți și cu bună credință pentru a dezvălui acestor diferențe. Multe Ceainicele sunt scrie în mod oficial și să facă o greșeală.

Exemplul 6: Soluție:

Notă: în fapt, această decizie nu este în întregime rațională. Înainte de a pune în numărătorul suma a fost mai bine pentru a schimba semnul la numitor, și imediat poartă minus în afara integrală: - într-un astfel de mod de a selecta numărătorul este mult mai ușor.

Exemplul 10: Soluție:

1) - ansamblu? Nu.
2) - un întreg? Nu.
3) - ansamblu!
Înlocuire :. în acest caz:

Cercetat de rădăcini. de la:

apoi:

Partea rămasă a integrandul:

Contactați de înlocuire. În cazul în care.