funcția Lagrange și ecuațiile Lagrange ale unui sistem

Principiul puțin acțiunii: Acțiunea are o valoare minimă la mișcarea sistemului. Funcția Lagrange caracterizează sistemul, - coordonatele - viteza - ori.

Ecuația Lagrange rezolvă problema minim. . În cazul în care gradele de libertate ale sistemului, atunci ecuația este adevărată pentru fiecare grad (poziție):

Luați în considerare sistemul de puncte materiale care interacționează unele cu altele, dar nu interacționează cu corpuri străine (sistem închis). Interacțiunea dintre punctele de material pot fi descrise prin adăugarea la punctele neinteractionabile Lagrangianului () definite (în funcție de natura interacțiunii) funcția de coordonate.

(Energia cinetică minus energia potențială); - vectorul raza punctului i-lea.

Cunoașterea Lagrangianului poate echivala Lagrange: înlocuind în Lagrangianului, obținem: - ecuația lui Newton. Valoarea se numește forța care acționează asupra punctului-lea.

Dacă nu utilizați coordonatele carteziene și coordonatele generalizate arbitrare. apoi pentru a obține pentru a face conversia :. și înlocuirea expresiei. Atunci vom obține. în cazul în care - o funcție numai a coordonatelor.

Luați în considerare sistem deschis acum în domeniul sistemului. presupunând un sistem închis. Funcția Lagrange va arata:

Substituind dată funcția de timp și membru de scădere. care depinde numai de timpul (și, prin urmare, fiind derivata totală de o altă funcție), obținem: - tip convențional Lagrangiene (aici, dar depinde în mod clar de timp).

Pentru o particulă într-un câmp exterior :; - ecuația de mișcare.

Atunci când un sistem mecanic cu valori de mișcare și grade de libertate. Ei schimba în timp. Cu toate acestea, există funcții ale acestor valori, care rămân constante atunci când de conducere valori care depind doar de condițiile inițiale.

Aceste funcții sunt numite integralele de mișcare.

Numărul de integralelor independente de mișcare pentru sistemul mecanic închis de îngrijire. în cazul în care - numărul de grade de libertate. Raționament: Soluția generală ecuațiile de mișcare conțin constante arbitrare (ca un sistem de ecuații diferențiale de ordinul doi pentru funcțiile necunoscute). Deoarece ecuațiile de mișcare a unui sistem închis nu conține momentul explicit, alegerea de origine este arbitrară și una dintre constantele arbitrare în soluția de ecuații poate fi ales întotdeauna sub forma unei constante aditiv în timp. Eliminarea de caracteristici. . Acesta poate fi exprimat sub formă de arbitrare și funcții. care va fi integralele de mișcare.

Energie: Având în vedere omogenitatea timpului nu depinde în mod explicit la timp pentru un sistem închis, prin urmare, pot fi înregistrate.

În coordonate carteziene.

Impuls: spațiu Uniformitatea - proprietatea mecanică a sistemului închis nu se schimba pentru orice sistem de translație paralelă ca un întreg în spațiu. Luați în considerare o infinitezimală nevoie de transfer și imutabilitatea. Apoi. Din moment ce - oricând, atunci. Prin urmare. În virtutea ecuațiile Lagrange. și anume puls.

Momentul cinetic: spațiu izotropie - proprietățile mecanice ale unui sistem închis nu sunt modificate pentru orice rotație a sistemului ca întreg în spațiu. Să considerăm o rotație infinitezimală și cererea care nu sa schimbat.

constanta HELD. . Înlocuiți. . Apoi. Facem o permutare ciclică și scoase din semnul suma:

Având în vedere arbitrariului. . și anume - momentul de impuls al sistemului rămâne constantă (aici, momentul cinetic este destinat pentru a evita confuzia cu desemnarea Lagrangianul).