Formulare pătratică 1
formă pătratică f (.. X1 x2 xn) de n variabile se numește suma pe care fiecare membru al care este un pătrat de una dintre variabilele sau produsul a două variabile diferite, realizate cu unele coeficient: f (.. X1 x2 xn) = (aij = aji ).
O matrice compusă din acești coeficienți, se numește formă pătratică matrice. Este întotdeauna o matrice simetrică (adică matricea, simetrică față de diagonala principală, aij = aji).
Notația matrice, forma pătratică f (X) = X T AX, unde
De exemplu, o formă pătratică, se scrie în formă de matrice.
Pentru a face acest lucru, vom găsi matricea formei pătratice. Elementele sale diagonale sunt egale cu pătratelor coeficienților variabilelor, și alte elemente - Jumătate dintre coeficienții corespunzători ai formei pătratice. prin urmare
Să variabilă matrice coloană X obținută nedegenerat matricea de transformare liniară coloană-Y, adică, X = CY, unde C - nesingular ordine n-lea. Apoi, forma pătratică f (X) = X T AX = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y.
Astfel, atunci când transformarea liniară nedegenerata cu matricea formei pătratice are forma: A * = C T AC.
De exemplu, găsim o formă pătratică f (y1 y2.), Derivat dintr-un formyf pătratice (x1, x2.) = 2x1 2 4x1 + x2 - 3x2 transformare 2 liniar.
Forma pătratică numită canonic (vedere imeetkanonichesky) dacă toate sale koeffitsientyaij prii = 0 ≠ j, t.e.f (x1. X2. Xn) = a11 x1 + a22 x2 2 2 + ... + ann xn = 2.
matricea sa este diagonală.
Teorema (dovada nu este dat aici). Orice formă pătratică poate fi redus la forma canonică utilizând o transformare liniară non-degenerate.
Pentru a face acest lucru, selectați mai întâi un pătrat perfect de x1 variabila:
Acum selectați un pătrat perfect de x2 variabile:
Rețineți că o formă canonică a unei forme pătratice unic definită (una și aceeași formă pătratică poate fi redus la forma canonică moduri diferite 1). Cu toate acestea obținute în diferite moduri, forme canonice au o serie de proprietăți comune. În special, numărul de termeni cu formă pozitivă (negativă) a coeficienților pătratice nu depinde de metoda de reducere pentru a forma acest tip (de exemplu, în exemplul va fi întotdeauna două negative și un coeficient pozitiv). Această inerție nazyvayutzakonom proprietate a formelor pătratice.
De asemenea, trebuie remarcat faptul că gradul de forma pătratică este numit rangul de forma pătratică. egal cu numărul de factori de formă canonică nenule și nu se modifică sub transformări liniare.
Formularul pătratice f (X) nazyvayutpolozhitelno (negativ) definit. în cazul în care pentru toate valorile variabilelor nu simultan egale cu zero, este pozitiv, t.e.f (X)> 0 (t.e.f negativ (X) <0).
De exemplu, forma pătratică f1 (X) = x1 + x2 2 2 - definit pozitiv, deoarece reprezintă suma pătratelor și formaf2 pătrat (X) = -X1 2 x2 + 2x1 - x2 2 - definit negativ, deoarece este posibil să se prezinte o videf2 (X) = - (x1 - x2) 2.
În cele mai multe situații practice pentru a stabili un semn clar al formei pătratice este ceva mai complicat, așa că pentru această utilizare una dintre următoarele teoreme (le-am stat fără dovezi).
Teorema. Forma pătratică este pozitiv (negativ) definit dacă și numai dacă toate valorile proprii sale sunt matrice pozitiv (negativ).
Teorema (criteriul Sylvester). Forma pătratică este pozitiv definită dacă și numai dacă toate principalele minori ale acestei forme sunt pozitive.
Principalul (unghiular) minor k matricea A ordin ordinul n-lea se numește determinantul unei matrice compusă din pervyhkstrok și coloane A) matrice (.
Rețineți că pentru o formă pătratică negativ definit semnalizările minori principali sunt alternate, primul ordin minor trebuie să fie negativ.
De exemplu, pentru a examina semn fix pătratice formă f (x1. X2) = 2x1 + 4x1 2 3x2 + x2 2.
Metoda 1: construirea unei matrice pătratică A = formular. Ecuația caracteristică va avea forma = (2 -) * (3 -) - 4 = (6 - 2- 3 + 2) - 4 = 2 - 5 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;. Prin urmare, forma pătratică - definită pozitiv.
Metoda 2. Minor principală de prim ordin matricea A 1 = a11 = 2> 0. principal doilea poryadka2 minor = 6 - 2 = 4> 0. Prin urmare, criteriul Sylvester forma pătratică - pozitiv definită.
Investigați la un alt semn definit formă pătratică, f = -2x1 + 4x1 2 x2 (x1, x2). - 3x2 2.
Metoda 1: construirea unei matrice pătratică A = formular. Ecuația caracteristică va avea forma = (-2 -) * (- 3 -) - 4 = (6 + 2 + 3 + 2) - 4 = 2 + 5 + 2 = 0; D = 25-8 = 17;. Prin urmare, forma pătratică - definit negativ.
Metoda 2. Minor principală de prim ordin matricea A 1 = a11 = = -2 <0. Главный минор второго порядка2 = = 6 – 4 = 2> 0. Prin urmare, criteriul Sylvester forma pătratică - negativi definite (principalii minori semne alternative variind de la minus).
Și, ca un alt exemplu, să examineze la fix semn pătratice formă f = 2x1 2 4x1 + x2 (x1, x2). - 3x2 2.
Metoda 1: construirea unei matrice pătratică A = formular. Ecuația caracteristică va avea forma = (2 -) * (- 3 -) - 4 = (-6 - 2 + 3 + 2) - 4 = 2 + - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;. Unul dintre aceste numere este negativ, iar celălalt - pozitiv. Semne de valori proprii diferite. Prin urmare, forma pătratică nu poate fi nici negativ, nici pozitiv definită, și anume, Această formă pătrată nu este certă (poate lua valori de fiecare semn).
Metoda 2. Minor principală de prim ordin matricea A 1 = a11 = 2> 0. Principalul minor al doilea poryadka2 = -6-4 = -10 <0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).
Metoda 1Rassmotrenny de reducere a unei forme pătratice la forma canonică este utilă atunci când pătratelor variabilelor sunt coeficienți nenuli. Dacă acestea nu sunt, să efectueze conversia este încă posibil, dar trebuie să utilizați alte metode. De exemplu, Fie F (x1, x2.) = 2x1 x2 = x1 2 + x2 + x2 2x1 2x1 2 - x2 = 2