Ecuatii diferentiale ordinare

Sistemul de ecuații diferențiale ordinare se numește în mod autonom. În cazul în care variabila independentă nu apare în mod explicit în sistem.
Teoria sistemelor autonome pentru a desemna variabila independentă prin litera t, iar soluția dorită -.
Numai cazul n = 2 și considerând în continuare un sistem autonom de ordinul doi:

Presupunem că laturile din dreapta ale sistemului f1 (x1. X2). f2 (x1. x2) sunt continuu diferențiabilă în domeniu, și anume Teorema de existență și unicitate. Numele unui sistem autonom este justificată de faptul că decizia în sine administrează schimbarea ei ca derivați DX1 / dt și DX2 / dt depinde numai de x1 și x2. Sistemele autonome sunt numite, de asemenea, sisteme dinamice.

Să x1 = j1 (t), x2 = j2 (t) - o soluție a sistemului autonom de ordinul doi. apoi, ecuația

este stabilită sub forma parametrica a curbei în plan. Această curbă se numește curba de fază și traiectoria de fază a sistemului. Avionul pe care traiectoriile de fază se numește sistem autonom plan de fază. Pentru n> 2 traiectoriilor de fază sunt în spațiul fazelor.

Atunci când mai multe sisteme de fază curbe care caracterizează comportamentul calitativ al soluțiilor (cu curbe egale asymptotes puncte limită și așa mai departe.) Se arată în figură, imaginea este numit un portret de fază a sistemului.

Curbele integrale ale sistemului ilustrat în spațiul tridimensional al variabilelor (t x1 x2 ..) și, dacă x1 = f1 (t), x2 = f2 (t) - un sistem de soluție, curba integrată este definită într-o formă parametrică a ecuațiilor

o traiectorie de fază - nu doar proiecția curbei integrale pe planul fazelor (plane (x1 x2) ..

Exemplul 1. Curbele de fază ale sistemului autonom.

Pentru curbele de fază (faza de traiectorie) sistem autonom, o parte drept continuu diferențiabilă
, ,
Următoarele afirmații sunt adevărate:

Dacă există un punct care este o soluție de un sistem autonom, și anume traiectoria fazei corespunzătoare - punctul.
Dacă punctul (x1 (t), x2 (t)) aparține unei curbe de fază, constanta C la orice punct (x1 (t + C), x2 (t + C)) este în aceeași curbă de fază.
Cele două curbe de fază sau sunt disjuncte sau identice.
Faza traiectorie diferită de la un punct, o curbă netedă (în fiecare dintre punctele sale un vector tangent este non-zero).
Orice curbă fază aparține uneia dintre cele trei curbe netede tipov- fără auto punct neted închisă curba (buclă).
Dacă curba de fază corespunzătoare soluției, există o curbă închisă netedă, apoi această soluție - o funcție periodică.

EXEMPLU Curbele de fază 2. Tipuri.

Momentul în care partea dreaptă a sistemului este zero, se numește poziția de echilibru a sistemului. Poziția de echilibru este, de asemenea, numit punctul de sistem autonom de odihnă.

Exemplul 3. Restul arată sistem autonom.

Dacă în orice moment zona este setat vectorul n -dimensional
, , spunem că în zona de G dat un câmp vectorial. Scriem sistemul autonom de-al doilea ordin

în formă vectorială:

unde
,
sistem autonom

complet determinat de câmpul vectorial
.
Într-adevăr, la fiecare punct

Curba de fază netedă

există un vector tangent
(X '(t0), y' (t0))
egal (datorită sistemului) vector
,
Cu alte cuvinte, câmpul vectorial

sistem autonom specifică în fiecare direcție, la o tangentă la curba sistemului de fază care trece prin acest punct.
Punctul unui câmp vectorial, în care vectorul - zero numit un punct singular al unui câmp vectorial. Astfel, punctul de repaus sistem autonom - un anumit punct al câmpului vectorial.

Exemplul 4. Sistemul autonom câmp vectorial.