Construcția ambelor părți ale ecuației în pătrat - matematică
2. Construcția ambele părți ale pieței.
Lăsați cele două ecuații sunt: (1) și. Dacă - rădăcina prima ecuație este adevărată egalitate. Din egalitatea a două numere implică faptul că pătratele lor, adică, Ceea ce înseamnă că - rădăcina ecuației (2). Prin urmare, din ecuația (1) urmează ecuația (2).
În același timp, egalitatea pătratelor numerelor nu sunt egale cu aceste numere (numere pot fi antiteza). De aceea, din ecuația (2) nu urmează ecuația (1). Rezultă că, dacă soluția ecuației utilizată de construcția de ambele părți ale pieței, va trebui să conducă în continuare a studia, elimina rădăcini „străine“ în cazul în care a apărut.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația.
Decizie. Ridicăm ambele părți ale acestei ecuații în pătrat.
În cazul în care egalitatea nu este adevărat, deci -1 nu este o rădăcină a ecuației inițiale.
Dacă, apoi 4 = 4, ecuația este adevărată.
În consecință, ecuația are o singură rădăcină: 4.
3. Implementarea într-o parte (sau două părți) ale transformărilor identitare, care duc la extinderea domeniului alinierii.
Dacă unele de transformare de identitate a dus la extinderea domeniului ecuației, obținem ecuația - o consecință. În acest caz, poate exista o valoare variabilă, care sunt rădăcinile ecuației originale.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația.
Decizie. Urmați termeni similari, obținem :. Apoi.
Dacă, atunci expresia este lipsită de sens.
În cazul în care, apoi, ecuația este adevărată.
În consecință, ecuația are o singură rădăcină: 5.
Exemplul 2: rezolva ecuația.
Decizie. sau. Apoi.
Dacă, atunci expresia este lipsită de sens.
În cazul în care, apoi, ecuația este adevărată.
Prin urmare, ecuația are o rădăcină unică: -2.
În cazul în care soluția ecuației, l-am înlocui cu ecuația - rezultatul, testul menționat mai sus este o parte integrantă a ecuației de soluție. Prin urmare, este important să se știe în ce transformări această ecuație intră în vigoare.
Să considerăm ecuația (3) și se multiplică ambele părți ale acestuia, la una și aceeași expresie, care este semnificativ pentru toate valorile. Se obține ecuația (4), ale cărui rădăcini sunt rădăcinile ecuației (3), și rădăcini.
Prin urmare, ecuația (4) este o consecință a ecuației (3). In mod clar, ecuația (3) și (4) sunt echivalente dacă ecuația „străine“ nu are rădăcini. Astfel, teorema următoare deține.
Teorema 1. Dacă ambele părți ale ecuației este înmulțită cu, obținem ecuația, care este o consecință a originalului. Dacă ecuația nu are rădăcini, ecuația rezultată este echivalentă cu originalul (dacă domeniul valorilor admisibile nu mai valori admisibile ale ecuației variabile câmp).
Rețineți că o conversie similară, adică tranziția de la ecuația (4) la ecuația (3), prin împărțirea pe ambele părți ale ecuației (4) asupra expresiei obicei inacceptabila, deoarece aceasta poate duce la pierderea de rădăcini în acest caz poate fi „pierdut“ rădăcini.
Exemplul 2. Ecuația are două rădăcini: 3 și 4.
Impartind ambele părți ale ecuației conduce la o ecuație cu o singură rădăcină de 4, adică A fost nevoie de pierdere rădăcină.
Din nou, luăm ecuația (3) și să aducă ambele părți la pătrat. Noi obținem ecuația (5), ale cărui rădăcini sunt rădăcinile ecuației (3), și rădăcinile ecuației „străine“. Este clar că ecuația (3) și (5) sunt echivalente, în cazul în care „outsider“ din ecuație nu are rădăcini.
Exemplul 3. Ecuația are o rădăcină 4. Dacă ambele părți ale acestei ecuații este pătrat, apoi o ecuație care are două rădăcini: 2 și 4. Prin urmare, ecuația - o consecință a ecuației. În tranziția de la ecuația ecuației apărut „străină“ root: -2.
Teorema 2. Prin construcția ambelor laturi ale pătrat (și în general orice grad chiar) se obține prin ecuația, care este o sursă consecință.
În rezolvarea ecuațiilor iraționale încearcă adesea să-l înlocuiască cu un simplu, dar echivalent cu originalul. Prin urmare, este important să se știe de conversie în valoare.
10. Ecuația Determinarea având aceeași rădăcină sunt numite echivalente cu ecuația. Ecuațiile nu au rădăcini, sunt de asemenea considerate a fi echivalente. Cu alte cuvinte, cele două ecuații se numesc echipotente în cazul în care seturile de meci de luare. Echivalenta este indicată după cum urmează :.
Exemplul 1 și echivalent cu ecuațiile, deoarece fiecare dintre ele are o singură rădăcină - numărul 3.
Exemplul 2. Ecuațiile nu sunt echivalente, deoarece fostul are doar o singură rădăcină 6 iar al doilea are două rădăcini: 6 și -6.
EXEMPLUL 3 ecuații și echivalente, ca seturile de soluțiile lor sunt goale. .
Definiție 11. Să presupunem că ecuație și și o pluralitate de M. Dacă oricare dintre prima rădăcină a ecuației aparținând setului M, satisface a doua ecuație și a doua ecuație orice rădăcină aparținând setului M, satisfac prima ecuație, atunci ecuațiile se numesc echipotente pe M.
Exemplul 1 și sunt echipotente pe platourile de filmare de numere reale, deoarece prima ecuație are doar o rădăcină de 1, iar al doilea are două rădăcini: -1 și 1. Dar aceste ecuații sunt echivalente cu mulțimea tuturor numerelor întregi ne-negative, ca fiecare dintre ele are pe acest set o singură rădăcină: 1.
Rețineți că de multe ori o multitudine de M coincide fie cu ecuația DHS sau un set de toate numerele reale.
Există o serie de teoreme privind echivalența ecuațiilor.
Teorema 3. Sub construcția ambelor părți ale uneia și aceleiași ecuații grad impar este obținut, ceea ce este echivalent cu originalul.
Teorema 4. Dacă ecuația de orice termen pentru a trece dintr-o parte în alta, schimbarea semnul său, obținem o ecuație, care este echivalentă cu originalul.
Teorema 5. Dacă ambele părți ale ecuației înmulțit sau împărțit același număr diferit de zero, obținem ecuația, care este echivalent cu originalul.
EXEMPLUL 1 (ambele părți ale primei ecuații împărțit la 2).
Teorema 6. Dacă oricare parte a ecuației de a efectua transformări identice care nu modifică domeniul ecuației, obținem ecuația, care este echivalent cu originalul.
În practica școlară în rezolvarea ecuațiilor iraționale sunt două metode de bază utilizate cel mai des:
1) pe ambele părți ale ecuației în același grad;
2) noi (auxiliare) variabile.
Aceste metode vor fi considerate ca standard. Cursul școlar obligatoriu, de obicei, aceste metode și sunt limitate. Cu toate acestea, uneori este necesar să se utilizeze tehnici non-standard și soluții workarounds ecuații iraționale.
Eroare tipică în rezolvarea ecuațiilor este irațional că elevii folosesc fără explicații suplimentare de conversie echivalenta de rupere, ceea ce duce la pierderea de rădăcini și apariția unei rădăcini „străine“.
Odată cu construirea celor două părți ale ecuației iraționale în același grad, este necesar să se aibă în vedere faptul că în cazul în care gradul - nu este un număr par, obținem ecuația este echivalentă, în cazul în care gradul - este un număr par, obținem ecuația - o consecință. Prin urmare, în rezolvarea ecuațiilor iraționale în cele mai multe cazuri, este necesar pentru a verifica soluțiile găsite.
Controalele pot fi evitate dacă vom rezolva ecuații iraționale folosind înlocuiri echivalente. Este util să se cunoască următoarea teoremă.
Teorema 7. Ecuația formei este echivalentă cu sistemul mixt
Teorema 8. Ecuația formei sau.
În continuare, să analizăm mai detaliat tipurile de ecuații și metode de rezolvare a acestora iraționale.
Informații despre activitatea „ecuatii“ Irrational
Categorie: Matematică
Numărul de caractere, inclusiv spații: 36308
Număr de mese: 0
Numărul de imagini: 4
deoarece b). deoarece c). Clarificați în ce n expresia sub modulul schimba semnul lor semn: n = 1, n = 1, n = 0. 1) În cazul în care n<-1, то 2) Если -1£n<0, то 3) Если 0