Combinația dintre o minge cu alte organisme

Tema „probleme diferite pe poliedre, cilindru, con și bilă“ este una dintre cele mai dificile în cursul geometriei în clasa 11. Înainte de a rezolva problemele geometrice, de obicei, a studiat secțiunile relevante ale teoriei care se face referire în rezolvarea problemelor. Manualul S.Atanasyana et al. Pe acest subiect (pag. 138) este disponibil numai pentru a determina poliedrului circumscris despre sfera, poliedrului înscrisă într-o sferă, o sferă înscrisă în poliedrului și sfera despre poliedrului descrisă. Recomandările metodologice la acest manual (a se vedea. Cartea „Geometria de studiu în 10-11-clase“ și S.M.Saakyana V.F.Butuzova, p.159), organismele care sunt considerate combinații în rezolvarea № 629-646 spus , și atrage atenția asupra faptului că „la decizia unei probleme trebuie să ne asigurăm mai întâi că elevii sunt bine reprezentate de poziția relativă a acestor organisme în stare.“ Ceea ce urmează este o rezolvare a problemelor # 638 (a) și №640.

Având în vedere toate cele de mai sus, și că cea mai dificilă sarcină pentru studenți este o combinație de o minge cu alte organisme, este necesar să se sistematiza pozițiile teoretice relevante și de a informa elevii lor.

1. Bila se numește poliedru inscripționată și poliedrului descris în jurul mingii când suprafața bilei se referă la toate aspectele poliedrului.

2. Bila este numit descrisă despre poliedrului, poliedru înscrisă într-o sferă, dacă suprafața mingea trece prin toate nodurile poliedrului.

3. Bila se numește un cilindru înscris, un trunchi de con (con) și cilindru, un trunchi de con (con) - a descris în jurul mingea atunci când suprafața de balon atinge baza (baza) și toate formând un cilindru, un trunchi de con (con).

(Din această definiție rezultă că, în orice secțiune axială a organismelor poate fi înscris mare cerc de minge).

4. Ball numit circumscris cilindru, un trunchi de con (conic) dacă cercul de bază (cerc de bază și un vârf) aparțin suprafața sferei.

(Din această definiție rezultă că marele cerc de minge poate fi descrisă cu privire la toate secțiunile axiale ale acestor organisme).

Observații generale privind poziția centrului mingii.

1. centrul sferei înscrise în poliedru se află la intersecția planului bisectoarea unghiurilor diedre ale poliedru. Acesta este situat chiar în interiorul poliedrului.

2. Centrul sferei circumscrise despre poliedru se află în punctul de intersecție al planuri perpendiculare pe toate marginile poliedru și care trece prin mijloc lor. Acesta poate fi amenajat în interior și în exterior pe suprafața poliedrului.

Combinația dintre o minge cu o prismă.

1. Mingea înscris într-o prismă.

TEOREMA 1. Mingea poate intra într-o prismă directă dacă și numai dacă cercul de bază prismă poate fi înscris, iar înălțimea prismei este egală cu diametrul cercului.

Corolar 1. centrul sferei înscrise în prisma dreaptă se află în mijlocul înălțimii prismei prin centrul unui cerc înscris în baza.

Corolarul 2. Ball, în special, poate fi înscrisă în liniile drepte: triunghiulare, regulate, dreptunghiulare (în care suma dintre laturile opuse ale bazei egale între ele), sub condiția H = 2r, unde H - înălțimea prismei, r - raza unui cerc înscris în bază.

2. Ball descris in jurul prismei.

Teorema 2. Mingea poate fi descrisă aproximativ prismă dacă și numai dacă prisma înainte și în jurul bazei sale poate fi descrisă ca un cerc.

Corolar 1. centrul sferei circumscrise despre o prismă dreaptă se află pe jumătatea înălțimii prismei trasată prin centrul cercului circumscris despre baza.

Corolarul 2. Ball, în particular, pot fi descrise: despre prisme triunghiulare drepte, prisme regulate în jurul aproximativ paralelipipedică prisme patrulateră aproximativ drepte a cărei bază cantitate colțuri opuse este de 180 de grade.

Din L.S.Atanasyana manual pe o combinație de o minge cu o prismă poate fi oferit numărul de activitate 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b).

Combinația dintre o minge cu o piramidă.

1. Ball descris despre piramida.

Teorema 3. în jurul piramidei poate fi descrisă ca o minge, dacă și numai dacă este posibil să se descrie un cerc în jurul bazei sale.

Corolar 1. centrul sferei circumscrise despre piramida se află în punctul de intersecție a liniei drepte perpendicular pe baza piramidei prin centrul cercului circumscris această bază, și un plan perpendicular pe orice margine laterală trasată prin dyne sulf această margine.

Corolarul 2. Dacă marginile laterale ale piramidei sunt egale (egale cu sau înclinate în raport cu planul bazei), apoi o parte a piramidei poate fi descrisă shar.Tsentr această minge în acest caz se află în punctul de intersecție al înălțimii piramidei (sau extensia sa) cu axa de simetrie a marginilor laterale, situată în planul marginilor laterale și înălțimea.

Corolarul 3. Ball, în particular, poate fi descrisă: despre piramidă triunghiulară piramidă aproximativ regulate, piramidă patrulateră în jurul valorii, care este egal cu suma unghiurilor opuse de 180 de grade.

2. Mingea înscris într-o piramidă.

Teorema 4. În cazul în care fețele laterale ale piramidei sunt la fel de înclinate la baza, într-o astfel de piramidă poate intra în bol.

Corolar 1. centrul sferei înscrise într-o piramidă, care fețele laterale sunt la fel de înclinați spre bază, se află în punctul de intersecție al înălțimii piramidei cu linia unghiul bisectoare orice unghi diedru de la baza piramidei, care parte servește ca înălțimea feței laterale, trase din vârful piramidei.

Corolar 2. Într-o piramidă regulată, puteți intra în bol.

poate oferi № sarcini 635, 637 (b) din L.S.Atanasyana manual, în combinație cu piramidă cu bile, 638, 639 (c), 640, 641.

Combinația dintre o minge cu un trunchi de piramidă.

1. Ball descris despre piramida trunchiată corectă.

Teorema 5. Aproape toate trunchi de piramidă dreapta poate fi descrisă ca o minge. (Această condiție este suficientă, dar nu este necesar)

2. Mingea înscris într-o piramidă dreaptă trunchiate.

Teorema 6. În piramida trunchiată dreapta poate fi înscris în minge și numai în cazul în care apotemă piramidei este bazele suma apofem.

În combinație cu o piramidă trunchiată sferă în L.S.Atanasyana tutorial are doar o singură sarcină (№ 636).

Combinație de glob cu corpuri rotunde.

Teorema 7. In jurul cilindrului, un trunchi de con (dreapta circulară) con poate fi descrisă ca o minge.

Teorema 8. Cilindrul poate fi înscris (circular drept) în minge și numai în cazul în care butelia este echilateral.

Teorema 9. Orice con (circular dreapta) poate intra în bol.

Teorema 10. trunchi de con (circular dreapta) poate fi înscris în minge și numai dacă este suma razelor ce formează bazele.

Dintr-o combinație de glob manual L.S.Atanasyana cu corpuri rotunde pot propune numărul de sarcină 642, 643, 644, 645, 646.

Pentru un material de studiu mai mult succes a acestui subiect ar trebui să fie incluse în cursul lecțiilor de sarcini verbale:

1. Marginea cubului este egală cu o. Găsiți razele de bile: înscris într-un cub și circumscrisă despre el. (R = a / 2, R = 3).

2. Este posibil să se descrie sfera (bila) este de aproximativ: a) cubul; b) cuboid; c) un paralelipiped înclinată, baza căreia se află un dreptunghi; d) paralelipiped drept; d) paralelipiped oblic? (A) Da; b) Da; c) nu; g) nr; e) nici unul)

3. Dacă afirmația este adevărat că domeniul de aplicare poate fi descrisă cu privire la orice piramidă triunghiulară? (Da)

4. Puteți descrie domeniul de aplicare în jurul valorii de orice piramidă patrulater? (Nu, nu despre orice piramidă pătrată)

5. Care sunt proprietățile piramidei ar trebui să despre el ar putea descrie domeniul de aplicare? (Așa cum ar trebui să se bazeze pe baza poligonului, despre care este posibil să se descrie un cerc)

6. sferă inscripționată piramidă, care marginea laterală perpendicular pe bază. Cum de a găsi centrul sferei? (Centrul Sferă - punctul de intersecție a două loci în primul spațiu -. Perpendicularele prin planul bazei piramidei prin centrul cercului circumscris în jurul ei de-al doilea -. Un plan perpendicular pe această muchie laterală și trasată prin mijlocul ei)

7. În ce condiții poate fi descrisă ca sfera în jurul unei prisme a cărui bază - trapez? (În primul rând, prisma trebuie sa fie drepte, și, în al doilea rând, să fie un trapez isoscel ar trebui, la unele este posibil să se descrie un cerc)

8. Ce condiții trebuie să fie îndeplinite printr-o prismă, la unele este posibil să se descrie domeniul de aplicare? (Prism trebuie să fie drepte, iar baza trebuie sa fie un poligon în jurul căruia poate fi descris printr-un cerc)

9. prismă triunghiulară Aproximativ descrisă sferă al cărei centru se află în afara prismei. Ce tip de triunghi este baza prismei? (Un triunghi obtuz)

10. Poți descrie domeniul de aplicare al unora prismă înclinate? (Nu, nu poți)

11. În ce condiții centrul sferei descris despre o prismă triunghiulară dreaptă este situat pe una dintre fețele laterale ale prismei? (Baza este un triunghi dreptunghiular)

12. Baza piramidei - trapez isoscel proiecția .Ortogonalnaya pe partea de sus a planului de baza piramidei - un punct situat în afara trapezului. Putem descrie despre o sferă trapez? (Da, este posibil ca proiecția ortogonală a vârful piramidei se află în afara bazei sale, nu contează este important ca baza piramidei este un trapez isoscel - .. Un poligon în jurul căruia poate fi descrisă printr-un cerc)

13. Lângă piramida din dreapta descris domeniul de aplicare. Cum este sa se concentreze pe elementele piramidei? (Centrul sferei este pe perpendiculara trase la baza planului prin centru)

14. În ce condiții centrul sferei descris despre o prismă triunghiulară drept minciunii: a) în cadrul prismei; b) în afara prisma? (Baza prismei: a) un triunghi înclinat acut; b) un triunghi obtuz)

15. paralelipiped aproape dreptunghiulară, ale cărei margini sunt egale cu 1 dm, dm 2 și 2 dm descris domeniul de aplicare. Se calculează raza sferei. (1,5 inchi)

16. În ceea ce poate fi un trunchi de con sferă înscrisă? (În trunchi de con, în secțiunea axială, care poate fi înscris cerc. Axial secțiune a conului este un trapez isoscel, suma bazei sale trebuie să fie egală cu suma dintre laturile sale. Cu alte cuvinte, suma razelor bazei conului este egală cu generatorul)

17. trunchiată con sferă înscrisă. Unghiul la care generatorul conului este vizibil din centrul sferei? (90 grade)

18. Ce fel de proprietate ar trebui să aibă o prismă dreaptă, astfel încât să poată intra în sfera? (În primul rând, linia de bază trebuie să se situeze poligon prismă, în care poate fi înscris cerc, iar în al doilea rând, înălțimea prismei trebuie să fie egal cu diametrul cercului inscris la baza)

19. Dați un exemplu de piramidă, care nu poate intra în sfera? (De exemplu, o piramidă patrulateră, baza căreia se află un dreptunghi sau paralelogram)

20. La baza unei prisme drepte este un romb. Este posibil în această prismă inscripționată sferă? (Nu, nu poți, deoarece unele dintre rombul nu este, în general posibil să se descrie un cerc)

21. În ce condiții unei prisme triunghiulare drepte poate fi înscrisă sfera? (Dacă înălțimea prismei de două ori mai mare decât raza unui cerc înscris în bază)

22. În ce condiții este corect patrulater trunchiate piramida poate fi înscrisă sfera? (Cerc Dacă secțiunea transversală a piramidei cu un plan care trece prin centrul bazei perpendicular pe acesta, este un trapez isoscel, în care poate fi înscris)

23. triunghiular piramidă trunchiată sferă înscrisă. Care este punctul piramidei este centrul sferei? (Centrul înscris într-o sferă de piramidă se află la intersecția unghiurilor trei avioane bissektralnyh formate de fețele laterale ale unei piramide cu baza)

24. Poți să descrie domeniul de aplicare al unora dintre cilindru (circular dreapta)? (Da, poți)

25. Poți să descrie domeniul de aplicare al unora de con, trunchi de con (circular dreapta)? (Da, poți, în ambele cazuri)

26. Are fiecare cilindru poate fi înscris sferă? Ce proprietăți trebuie să aibă un cilindru, astfel încât să poată intra în sfera? (Nu, nu la fiecare: secțiune axială a cilindrului trebuie să fie un pătrat)

27. Are fiecare con poate fi înscrisă sfera? Cum de a determina poziția centrului sferei înscrisă în con? (Da, cel puțin. Centrul sferei înscris este situat la intersecția înălțimii conului și bisectoarea unghiului generatorului la planul de masă)