Chiar și impare funcții, regina de matematică

Definiția. Funcția $ f (x) $ se numește seara. în cazul în care: 1) $ \ forall x \ in D (f) \; \ Exists (-x) \ în D (f) $ (domeniul funcție trebuie să fie simetrice cu privire la originea); 2) $ f (-x) = f (x) $.

Conform definiției unei chiar funcționează, este clar că, împreună cu punctul $ M (x_0, \; y_0) \ în \ Gamma_f $, există un punct $ M „(- x_0, \; y_0) \ în \ Gamma_f $. Acest lucru inseamna respect pentru simmetrichenost axa Oy $ $ grafică chiar și funcția.

Definiția. Funcția $ y = f (x) $ este numit ciudat. în cazul în care: 1) $ \ forall x \ in D (f) \; \ Exists (-x) \ în D (f) $, 2) $ f (-x) = -f (x) $.

Conform definiției funcțiilor impare există puncte de $ M (x_0, \; y_0) \ în \ Gamma_f $ și $ M'e (-x_0, \; -y_0) în \ Gamma_f $, ceea ce înseamnă că simetria nui grafic în ceea ce privește funcția de origine.

Funcția $ y = \ ln (x + 1) nu are proprietăți $ planeitate și bizarerie.

$ D (y) = [- \ sqrt 5 \; \ Sqrt 5] $

Funcția $ y = \ sqrt $ chotnaya.

Proprietățile funcțiilor pare și impare

1 °. Suma a două funcții este funcția chiar este chiar.

2 °. Suma a două funcții impare este o funcție ciudat.

3 °. Produsul a două funcții este funcția chiar este chiar.

4 °. Produsul a două funcții impare este o funcție chiar.

5 °. Produsul a două funcții, dintre care una este chiar și, pe de altă ciudat, există o funcție ciudat.

$ (F \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x) $, $ f (x) $ - chotnaya, $ g (x) $ - ciudat.

$ (F \ cdot g) (- x) = f (-x) \ cdot g (-x) = f (x) \ cdot (-g (x)) = $

$ = - f (x) \ cdot g (x) = - (f \ cdot g) (x) $.

Prin urmare, funcția de original este ciudat.

Teorema. Orice functie $ f (x) $ cu domeniul $ D (f) $, simetrică față de origine, poate fi reprezentat în mod unic ca sumă a unei chiar și o funcție ciudat având un domeniu de $ D (f) $.

$ F (x) = \ varphi (x) + g (x) $

$ \ Varphi (x) = \ frac (f (x) + f (-x)) $

Trebuie să dovedească faptul că una dintre aceste funcții, chiar și, pe de altă ciudat.

$ \ Varphi (-x) = \ frac (f (-x) + f (x)) = \ varphi (x) $ - chotnaya.

$ G (x) = \ frac (f (-x) - f (x)) = -g (x) $ - ciudat.