Aproximarea răspunsului în frecvență al filtrului

Calculul filtrului începe de obicei cu atribuirea parametrilor de filtrare, cel mai important dintre ele este răspunsul. Așa cum am discutat in articolul „filtru trece jos prototip.“ în primul rând efectuate pentru a aduce date cerințele filtrului la cerințele de filtru low-pass prototip. Cerințe EXEMPLU pentru răspuns amplitudine frecvență a prototipului Filtrul trece jos proiectat este prezentat în figura 1.

Figura 1. Un exemplu al caracteristicilor amplitudine-frecvență normalizate ale LPF

Acest grafic arată coeficientul de transmisie al filtrului la ξ normalizat de frecvență. unde ξ = f / FB

Ilustrația din Figura 1 arată că graficul admisibil neuniformitate factorul de transmisie este stabilit în passband. În banda oprită este dată de raportul minim de suprimarea semnalului de interferență. Actual caracteristică amplitudine-frecvență a filtrului poate avea orice formă. Principalul lucru este că nu a traversat limitele cerințelor specificate.

Calculul filtrului lung suficient realizat prin selectarea caracteristicilor amplitudine-frecvență folosind unități standard (m-k-link sau link). O astfel de metodă se numește metoda de aplicare. A fost destul de complicată și nu oferă un raport optim de calitate dezvoltate de filtru și numărul de link-uri. Prin urmare, au fost dezvoltate metode matematice de aproximare a caracteristicii amplitudine-frecvență cu caracteristici predeterminate.

Apropierea matematică numită reprezentare a complexului în conformitate cu o funcție cunoscută. De obicei, această funcție este destul de simplu. În cazul filtru de design, este important ca funcția aproximându ar putea fi puse în aplicare cu ușurință în inginerie de circuit. Pentru această funcție se realizează prin intermediul unor zerouri și poli ai raportului de transmisie cuadrupolare, în acest caz, filtrul. Ele sunt ușor de implementat folosind LC-circuite sau circuite RC-active cu feedback-ul.

Cel mai frecvent tip de aproximare răspuns filtru este o aproximare a Battervort. Astfel de filtre sunt numite filtre Butterworth.

filtre Butterworth

O trăsătură distinctivă a caracteristicii amplitudine-frecvență a filtrului Butterworth este absența maxime și minime în passband și banda oprită. Declinul în răspunsul de frecvență la lățimea de bandă de interfață a acestor filtre este egală cu 3 dB. Dacă filtrul necesită o valoare minimă ondulație utilizată în banda de trecere, partea superioară a filtrului de frecvență FB este selectată mai mare decât o lățime de bandă de frecvență superioară predeterminată. aproximare Funcția de răspuns de frecvență pentru LPF prototip filtru Butterworth este după cum urmează:

în cazul în care ξ - normalizat de frecvență;
n - ordinul filtrului.

Astfel, răspunsul de frecvență reală a filtrului dezvoltat poate fi obținut prin înmulțirea ξ normalizat de frecvență pe frecvența filtrului cutoff. Pentru un filtru Butterworth lowpass de răspuns în frecvență funcție de aproximare este următoarea:

Acum observați că calcularea filtrelor utilizate în mod obișnuit concept complex s-plan pe care frecvența circulară jω reprezentate grafic pe ordonată. și pe axa orizontală - inversul factorului de calitate. Astfel, este posibil să se definească parametrii de bază ai LC-circuite care fac parte din circuitul de filtrare: o frecvență de tuning (frecvența de rezonanță) și factorul Q. Trecerea la s-planul se realizează cu ajutorul transformatei Laplace.

O derivație detaliată a polilor filtru Butterworth poziție în complex s-avion este dat în [2]. Pentru noi este important ca polii filtrului sunt situate pe cercul unitate la distanță egală unul de altul. Numărul de poli este determinat de ordinul a filtrului.

Figura 2 prezintă aranjamentul filtrului pol Butterworth de ordinul întâi. În continuare se arată răspunsul în frecvență, poli care corespunde o anumită locație în complexul s-avion.

Figura 2. Amplasarea polilor și răspunsul în frecvență al unui prim ordin filtru Butterworth

Figura 2 arată că terminalul trebuie setat la zero frecvență și Q-factor trebuie să fie egal cu unitatea pentru un prim filtru de ordinul. Graficul AFC poate observa că reglarea frecvenței pol este într-adevăr egal cu zero și factorul Q pol astfel încât frecvența de tăiere normalizat pentru filtru Butterworth este unitatea, coeficientul de transmisie este -3 dB.

În același mod ne determină pentru filtrul pol Butterworth al doilea ordin. În acest moment, o frecvență de tuning pol este selectat la intersecția cercului unitate cu o linie dreaptă care trece prin centrul cercului la un unghi de 45 ° Exemplu pol locație în s-avion și frecvența răspunsului complex al doilea ordin filtru Butterworth este prezentat în figura 3.

Figura 3. Locul de amplasare răspuns filtru pol și un al doilea ordin Butterworth

În acest caz, frecvența de rezonanță a polului este situat aproape normalizat secționarea filtru de frecvență. Este egal cu 0,707. Q-factor de poli de grafica aranjament pol la rădăcina de două ori filtrului Q-pol Butterworth de ordinul întâi, astfel încât rata de cădere a caracteristicii amplitudine-frecvență este mai mare. (Nota cifrele din graficul din partea dreaptă. Când frecvență egală sa modifice 2, suprimarea aceleași deja 13 dB) partea din stânga a caracteristicilor amplitudine-frecvență obținute prin pol plat. Acest lucru se datorează influenței pol situat în banda de frecvență negativă.

pol locația și caracteristica amplitudine-frecvență a treia comandă filtrului Butterworth prezentat în figura 4.

Figura 4. Locul de amplasare filtru Butterworth de poli de ordinul trei

După cum se vede din graficele prezentate în figurile 2 la 5, cu ordine crescătoare filtru Butterworth degradare crește prăvăliș caracteristicilor amplitudine-frecvență și factorul Q crește necesar circuitul de ordin secundar (circuit), filtrul pol realizând caracteristicile de transfer. Aceasta crește de comutare necesare și pentru a limita ordinea maximă a filtrului, care poate fi realizat. În prezent, filtrele Butterworth pot fi realizate până la al optulea - ordinul a zecea.

Cebîșev

În filtrele, Cebîșev aproximare a răspunsului în frecvență se face după cum urmează:

Atunci când această caracteristică amplitudine-frecvență a filtrului Cebîșev real, în mod similar ca în filtru Butterworth poate fi obținută prin înmulțirea frecvenței normalizat de frecvența ξ dezvoltat filtru cutoff. Pentru Cebîșev de răspuns de frecvență filtru trece jos poate fi determinată după cum urmează:

Răspunsul de frecvență a scăzut trece filtru Cebîșev se caracterizează printr-o pantă abruptă în intervalul de frecvențe mai mari decât frecvența de transmisie superioară. Acest câștig este realizat datorită apariției ondulație în banda de trecere. Neuniformitate a funcției de aproximare filtru Cebîșev de răspuns de frecvență se numește poli solizi mari.

O derivație detaliată a poziției pol aproximează o funcție filtru Cebîșev pe s-plan este dat în [3]. Prețuim acel filtru pol Chebyshev sunt dispuse pe o elipsă a cărei axă principală coincide cu axa de frecvență normalizată. Pe această axă de elipse trece prin frecvența punct de frecvența de tăiere filtru trece jos.

Versiunea normalizată a acestui punct este egal cu unu. A doua axă este determinată de funcția de răspuns de frecvență de aproximare în passband. Mai mare ondulație banda de trecere admisibilă, cu atât mai puțin această axă. Este ca și cum „aplatizare“ a cercului unitate filtru Butterworth. Polul ca și în cazul în care se apropie de axa de frecvență. Aceasta corespunde unui filtru Q-pol creștere. Passband mai mare, cu atât mai mare factorul de calitate al poli, cea mai mare rata de creștere în banda de atenuare Cebîșev filtru de banda oprită. Numărul de poli ai funcției de răspuns în frecvență este determinată prin apropierea comanda filtru Cebîșev.

Figura 5 prezintă un exemplu de aranjament pol pentru ordinul întâi filtru Cebîșev. În continuare este prezentat răspunsul în frecvență al filtrului corespunzător locația actuală a polilor din complex s-avion.

Figura 5. Locul de amplasare filtru Cebîșev pol de prim ordin

În același mod ne determină pentru filtrul Cebîșev pol de ordinul doi. Locația răspuns pol frecvență filtru Cebîșev și al doilea ordin este prezentată în figura 6.

Figura 6: Amplasarea poli filtru Cebîșev de ordinul al doilea

Amplasarea polilor și răspunsul amplitudine-frecvență a filtrului Cebîșev treia comandă ilustrat în figura 7.

Figura 7. Locul de amplasare filtru Cebîșev de poli de ordinul trei

Împreună cu articolul, „apropierea filtrelor de răspuns de frecvență“ pentru a citi: