aproximarea funcțiilor
Titlul lucrării: apropierea funcțiilor
Specializarea: Informatică, Cibernetică și Programare
Descriere: Cum de a simplifica calculul fx funcției cunoscute sau fx în cazul în care caracteristicile sale sunt răspunsuri prea complicate la aceste întrebări sunt funcții de aproximare teorie al căror obiectiv principal este de a găsi funcția y = x închide t Fundamentare modalități de descoperire de succes, în funcție de tipul de parametri și de selecție a sarcinii funcționale. teoria aproximării funcțiilor. În funcție de parametrii procesului de selecție produce diferite metode de aproximare; cea mai raspandita printre ei au fost interpolare și standardul.
Mărime fișier: 939 KB
Job descărcat: 96 de persoane.
3.1. De ce apropierea de funcții?
În lumea din jurul nostru, totul este interconectat, astfel încât una dintre cele mai comune sarcini este de a stabili natura relației dintre diferitele variabile care vă permite să specificați o valoare diferită pentru valoarea unei variabile. Modelul matematic în conformitate cu o valoare de cealaltă este conceptul de y funcție = f (x).
În practică, calculele asociate cu prelucrarea datelor experimentale, calculul f (x), dezvoltarea unor metode de calcul, există următoarele două situații:
1. Cum se configurează forma funcției y = f (x), în cazul în care este necunoscut? Se presupune aici că un anumit tabel al valorilor sale. sau care este obținută din măsurători experimentale, fie de calcule complexe.
2. Calculul Deoarece Simplify funcție cunoscută f (x) sau caracteristicile sale. Dacă f (x) este prea complicat?
Răspunsurile la aceste întrebări sunt date de teoria de aproximare a funcțiilor, al cărui obiectiv principal este de a găsi funcția y = (x). închidere (adică, aproximează) într-un spațiu normat în original, funcția y = f (x). Funcția (x), astfel, este selectată astfel încât este cel mai convenabil pentru calculele ulterioare.
Abordarea de bază pentru rezolvarea acestei probleme constă în faptul că (x) este selectat în funcție de o serie de parametri liberi. și anume valorile care sunt selectate dintre anumite condiții de proximitate f (x) și (x).
Fundamentarea de moduri de a găsi un fel de succes de dependență și selectarea parametrilor funcționali este sarcina teoriei aproximării funcțiilor.
În funcție de parametrii procesului de selecție produce diferite metode de aproximare; cea mai raspandita printre ei au fost interpolate și abordarea standard, care este un caz special al metodei celor mai mici pătrate.
Cel mai simplu, bine înțelese și aplicate pe scară largă în prezent este o aproximare liniară. în care funcția selectată. Parametrii dependenți liniar. și anume sub forma unui polinom generalizat:
aici # 150; sistem cunoscut de funcții liniar independente (de bază). trigonometric, exponențială, logaritmică, sau o combinație de astfel de funcții: ca, în principiu, toate funcțiile de bază pot fi selectate, de exemplu. Este important ca sistemul de funcții de bază a fost completă. și anume oferind polinomul de aproximare f (x) (3.1) cu o precizie predeterminată cu.
Aici este un sistem bine-cunoscut și utilizat în mod obișnuit. Când interpolarea sistem de funcții liniar independente utilizate în mod obișnuit. Apropierea pentru media convenabil ca având ortogonală pe intervalul [1, 1?] Polinoame Legendre:
Rețineți că, în cazul în care o funcție este definită pe intervalul [a, b]. apoi folosind acest sistem trebuie să își coordoneze mai întâi de transformare. rezultând un interval la interval.
Pentru a aproxima funcțiile ortogonale periodice utilizate pe [a, b] sistemul funcțiilor trigonometrice. În acest caz, polinomul generalizată (3.1) poate fi scrisă sub forma.
3.2. Ce este interpolare?
Interpolarea este o modalitate de aproximare a funcțiilor. Esența ei este după cum urmează. Intervalul de valori ale lui x. reprezintă un interval [a, b], unde funcțiile f și ar trebui să fie aproape, alege un sistem ordonat de puncte (noduri) (notat), al căror număr este egal cu numărul de parametri necunoscuți. Alți parametrii sunt alese astfel încât să coincidă cu funcția f (x) la aceste site-uri (figura 3.1), care decid sistemul algebric care rezultă n în cazul general al ecuațiilor neliniare.
În cazul aproximării liniare (3.1), sistemul pentru a găsi coeficienții liniar și are următoarea formă:
Sistemul de funcții de bază. utilizate pentru interpolare a fi Cebîșev. și anume astfel încât determinantul matricei sistemului (3.2) este diferit de zero și, prin urmare, problema de interpolare pentru a avea o soluție unică.
Pentru cele mai importante aplicații practice în interpolare sunt cele mai convenabile polinoame algebrice convenționale, deoarece acestea sunt ușor de manipulat.
polinom Interpolarea se numește un polinom algebric de gradul n-1. care coincide cu funcția aproximate la punctele selectate n.
Forma generală un polinom algebric
Sistemul Matrix (3.2), în acest caz, are forma
și determinant său (este determinant Vandermonde) este nenul dacă x i puncte diferite. Prin urmare, problema (3.2) are o soluție unică, adică, pentru un sistem dat există doar puncte diferite interpolate polinom.
Funcția de eroare de aproximare f (x) gradul de interpolare polinomială. construite pe n puncte poate fi estimată prin derivatul său cunoscut de ordinul n, cu formula
Din (3.5) rezultă că h 0 ordine a p eroare (cm. Sect. 1.4) pentru interpolare polinomială nodurilor selectate este egal cu numărul p = n. Dimensiunea poate fi făcută mică prin creșterea n și scăderea h. În calculele practice, folosind, de regulă, polinoame de ordine joasă (n 6). datorită faptului că ca n crește eroarea de calcul a creșterilor polinomiale dramatic din cauza erorilor de rotunjire.
3.3. Care sunt polinoame, și metodele de interpolare?
Același Polinomul poate fi scris în diferite moduri, de exemplu. Prin urmare, în funcție de sarcina folosind diferite tipuri de prezentare interpolare polinomiale și metode de interpolare, respectiv.
Alături de reprezentarea generală (3.3) sunt cel mai des utilizate în aplicații sub formă de interpolare polinoamelor Lagrange și Newton. Particularitatea lor este că nu este necesar să se găsească setările. Deoarece polinoame în această formă sunt înregistrate direct prin valorile din tabel.
lui Newton polinomului de interpolare (PN)
aici # 150; punctul curent, care este necesară pentru a calcula valoarea unui polinom, # 150; împărțită la diferența de ordin k, care se calculează în conformitate cu următoarele formule de recurență:
Schema de calcul polinomul Newton prezentat în Fig. 3.2.
Linear (PNL) și pătratice interpolare (PNS)
Calcularea formulei de interpolare (3.6) pentru n> 3 este rar folosit. De obicei, atunci când o masă predeterminată prin interpolare de m> 3 puncte utilizate n pătratică = 3 sau n = 2 interpolare liniară. În acest caz, calculul aproximativ al valorilor funcției f în punctul x se găsește în punctul cel mai apropiat de tabelul de masă i-nod din build generale interpolarea polinomială Newton primul sau al doilea grad de formule
și pentru valoarea lui f (x) care primesc (interpolare liniară) sau (interpolare pătratică). Schema de calcul pentru interpolare liniară și pătratică este prezentată în Fig. 3.3.
Lagrange de interpolare polinomială (PL)
Polinoamele sunt alese astfel încât toate nodurile cu excepția k-lea, ele dispar, în site-ul k, ele sunt egale cu una din urmatoarele:
Prin urmare, de la (3.8) vedem că.
Schema de calcul a polinomului de interpolare Lagrange este prezentată în Fig. 3.4.
Interpolarea forma generală, folosind o soluție directă a sistemului (3.2) Metoda Gauss (POG)
Trebuie remarcat faptul că, din cauza Newton și voluminos Lagrange polinoame cu performanțe inferioare calcularea unui polinom de forma generală (3.3), în cazul în care a constatat anterior coeficienți.
Prin urmare, atunci când este necesar pentru a produce o mulțime de calcul polinomiale construite din același tabel, se pare avantajos să se găsească mai întâi coeficienții o dată și apoi utilizați cu formula (3.3). Coeficienții sunt soluția directă a sistemului (3.2) c matrice (3.4), atunci valoarea sa este calculată prin formula programabil cu moderație (algoritmul lui Horner)
Schema de calcul a polinomului de interpolare a forma generală a ecuației (3.9) cu soluția directă a sistemului (3.2) este prezentată în figura 3.5.
formă generală interpolarea, utilizează calculul coeficienților polinomului (3.3) prin polinomul Lagrange (POL)
Găsirea coeficienții polinomului (3.3) nu poate în mod direct rezolvarea sistemului (3.2) și folosind extinderea coeficienților Lagrange (3.8):
formule Recursivitatea pentru a găsi coeficienții.
obținută din polinoamele a formei. dacă utilizați o idee clară
Algoritmul Schema pentru calculul coeficienților de forma generală a formulelor polinomului (3.10), (3.11) prezentate în Fig. 3.6.
3.4. Care este apropierea RMS?
Esența aproximarea rms este că parametrii sunt alese astfel încât să se asigure distanța minimă la pătrat între funcțiile f (x) și în spațiu (vezi. Sect. 1.3), adică condițiilor
În cazul aproximării liniare (3.1), problema (3.12) se reduce la soluția sistemelor liniare pentru a găsi coeficienții necesari.
aici # 150; produs scalar în L 2.
matricea sistemului (3.13) este simetrică, și trebuie rezolvată prin rădăcina pătrată.
Mai ales această problemă este rezolvată pur și simplu, dacă alegeți un sistem ortogonal de funcții. și anume astfel încât
Apoi, matricea SLAE (3.13) și parametrii diagonale sunt conform formulei
În acest caz, reprezentarea (3.1) se numește seria Fourier generalizată. și a chemat coeficienții Fourier.
Metoda celor mai mici pătrate (OLS)
OLS este un caz special de apropiere-pătrat medie. Atunci când este utilizat în valorile MNC x. reprezintă un interval [a, b]. în care funcția f și trebuie sistem selectat închidere diferite puncte (noduri) x 1 x m. numărul de care este de obicei mai mare decât numărul de parametri necunoscuți. Mai mult, impunând ca suma pătratelor reziduurilor pe toate nodurile este minimă (Figura 3.7.):
Aflam parametrii condițiilor. În general, aceasta este o sarcină dificilă și necesită utilizarea unor metode de optimizare numerice. Cu toate acestea, în cazul aproximării liniare (3.1), constituind condiția minimă sumei pătratului reziduale la toate punctele (la derivatele parțiale minime trebuie să fie zero):
obținem un sistem de n ecuații liniare n necunoscute ale formularului:
aici # 150; Vectori-funcție de masă-tiile. Elementele matricei G și vectorul în (3.15) sunt date de
# 150; produsul scalar al vectorilor.
Sistemul (3.15) are o G matrice simetrică rezolvată prin metoda și rădăcina pătrată.
Când aproximarea OMEN utilizate în mod obișnuit astfel de funcții. care folosesc special problemă care trebuie rezolvată și sunt potrivite pentru prelucrarea ulterioară.
Schema pentru calculul coeficienților de forma prin metoda celor mai mici pătrate (3.3) este prezentată în Fig. 3.8.
Aici este un exemplu de apropiere MNE. Să presupunem că tabelul cunoscut valori f (x).
Este suma pătratelor reziduurilor
Condiții minime (3.1 4):
Termeni similari, obținem în sfârșit un sistem de două ecuații cu matrice simetrică a necunoscutelor c 1 și c 2.
Rezolvarea aceasta, vom găsi.
Fig. 3.9 prezintă un tabel în funcție de f (x) și funcția (x) obținut de către CMN.
Procedura de calcul a OMEN următor. Inițial, pe masa originală este generată matricea G și coeficienții sunt calculate (a se vedea figura 3.8.) (As j k (x) este luat aici funcția x k - 1).. Apoi, cu ajutorul coeficienților derivați valoarea funcției calculate la punctul dorit (vezi. Fig. 3.5, b).
3.5. opțiuni de locuri de muncă
În toate exemplele de realizare (vezi Tabelul 3.1.). Necesar pentru a aproxima o (x) polinomul predeterminat inițial funcția f pe intervalul [a, b]. Specifică numărul de parametri necunoscut n. Tipul de aproximare și m # 150; numărul de puncte la care funcția specificată. Tabelul Funcția inițială y i = f (x i) calculat în puncte Folosind acest tabel cere pentru a calcula valorile funcțiilor și pixelii de eroare. să complot și să analizeze calitatea aproximarea rezultat.
3.6. întrebări de testare
1. Cum este problema apropierii liniară a funcțiilor?
2. Care este interpolarea interpretării sale geometrice?
3. Scrieți interpolarea Newton de ordinul 2 polinom.
4. Scrieți polinomului de interpolare Lagrange de ordinul 2.
5. Cum este apropierea celor mai mici pătrate, și interpretarea geometrică?
6. Aduceți SLAE coeficienți de funcții relativ OLS pentru tabel.
Precum și alte locuri de muncă pe care le-ar putea interesa
La proiectarea și construirea ARM contabil pot distinge două tipuri principale de software: hardware și software. Odată cu punerea în funcțiune a APM contabil bazate pe PC funcții de distribuție se întâmplă și tranzacții între un contabil și un calculator personal. În plus față de a utiliza ca un mijloc tehnic de ARM contabil calculatoare personale moderne face posibilă simultan cu tratamentul descentralizat prerogativelor pentru a asigura integrarea bazei de cunoștințe pentru a reduce timpul de procesare; elimina decalajul dintre.
Regulile de bază de organizare și de contabilitate pentru toate întreprinderile sunt una. Contabilitate este guvernată de reglementările legile și reglementările contabile. Probleme cum ar fi organizarea de forme și tehnici de contabilitate, compania rezolva de la sine.