4 extinderi asimptotice
Formulele asimptotice sunt adesea utile pentru funcțiile de calcul aproximative reprezentate integralele cu un parametru, în special, în studiul comportamentului ecuațiilor diferențiale.
4.1 Conceptul expansiunii asimptotice
4.1.1 Pe-simbolism. secvență asimptotică
1. Simbolurile oși O. Fie funcția f (x) și g (x) definit pe un set B și lăsați x 0 - un punct limită al acestui set, adică, în fiecare vecinătate a lui x 0 sunt alte puncte de set B. Variabila x este presupus real sau complex. Dacă x este real, atunci B este de obicei
- un cartier sau un punct de semineighborhood x 0. complex cazul B - un fascicul sau sector cu vârf la punctul x 0.
a) f (x) = o (g (x)) la x → x 0. x B, mijloace
b) f (x) = O (g (x)) la x → x 0. x B, înseamnă că există o constantă C și un punct de vecinătate x 0. V că
a) f (x) = O (x -∞) când x → ∞ indică faptul că f (x) = O (x N), pentru orice întreg N ≥ 0.
Notă. De obicei, în astfel de cazuri, cuvântul „atunci când“ pentru scurt se înlocuiește cu o virgulă.
6.1. Arată că
b) sin z = O (e Im z), z → ∞, unde 0 ≤ arg z ≤ π; a) ln n = O (n a), n → ∞, dacă a> 0;
g) e -λ = O (λ -∞), λ → ∞, unde | arg λ | ≤ π / 2 -. unde> 0; d) x a = o (x b), x → 0 dacă a> b;
e) x a = o (x b), x → ∞, dacă a) Dacă f (x) = O (g (x)) și g (x) = O (h (x)), apoi f (x) = O (h (x)); b) în cazul în care f (x) = o (g (x)) și g (x) = O (h (x)), apoi f (x) = o (h (x)); c) în cazul în care f (x) = O (g (x)) și g (x) = o (h (x)), apoi f (x) = o (h (x)). aceasta se numește o secvență asimptotică (AP) atunci când x → x 0. x B. Menționarea multimea B este de obicei omis, cu excepția cazului în contextul în mod clar ceea ce este în joc. 6.6. Arată că secvența stepennye“: a) 1, z, z 2.când z → 0, b) 1, z -1. z -2. când z → ∞, Notă: în majoritatea cazurilor, este utilizat stepennye“AP. 6.7. Fie că forma funcții ln x, ln ln x, ln ln ln x. AP atunci când x → + ∞? 6.8. Într-o secvență plan z sector funcțiilor exp (-z), exp (-z 2), exp (-z 3). z → ∞, este asimptotică? 1. seria oficială. Să φ 0 (x), φ 1 (x). - secvență asimptotică la x → x 0. 0. și lăsați o o 1. - secvență numerică arbitrară. Formăm sumele parțiale σ 0 (x) = a 0 φ 0 (x), σ 1 (x) = a 0 φ 0 (x) + 1 φ 1 (x). σ n (x) = a 0 φ 0 (x) + 1 φ 1 (x) +. + A n φ n (x). Secvența sumelor parțiale numite seria asimptotică formale a AP, x → x 0. Pentru rânduri formale folosesc aceeași înregistrare ca și pentru serii convergente convenționale de funcții: atunci spunem că funcția f (x) are la x → x 0 expansiune asimptotice (AP), in conformitate cu AP, și scrie în formă de f (x) c k φ k (x), x → x 0. x B. Dacă (2) deține numai pentru n = 0, 1. N, atunci spunem expansiunea asimptotică a funcției la membrul N-lea. În cazul particular N = 0 se spune despre reprezentarea asimptotică a funcției. De exemplu, la x → 0 expansiune asimptotică exponent la termenul 2: e x 1 + x 2/2; asimptotică reprezentare tangent: tg x x (aici φ 0 (x) = x). Determinarea AR (2) înseamnă că funcția f (x) într-o vecinătate a unei secvențe x 0 formule aproximative: f (x) ≈ o 0 φ 0 (x), f (x) ≈ o 0 φ 0 (x) + 1 φ 1 (x). în care fiecare formula anterioară succesivă specifică, în sensul că apropierea erorii ulterioare, în comparație cu eroarea anterioară este infinitezimal când x → x 0. Totuși, acest lucru nu înseamnă că, în practică mai mare numărul de termeni utilizați pentru a calcula funcția aproximativă, mai puțin Acesta va eroare. Problema modului în care trebuie să fie luate mulți membri ai expansiunii asimptotice pentru apropierea de funcții, nu este simplu. În unele cazuri, diferența dintre această funcție și o sumă parțială a AR poate fi prezentată sub forma unei integrale, care este incalculabila. În cazul general, aveți posibilitatea să urmați regula: alege un număr nu mai locului, după care un termen general începe să crească. De regulă, termenul general al Azerbaidjanului pentru creșterea numărului său scade în primul rând, și apoi, începând cu un anumit număr de „critic“, poate începe să crească. Acest număr n critic depinde, de obicei, de valoarea lui x: x mai aproape de limita, mare n. În practică, ar trebui să se limiteze la segmentul final al seriei formale, trunchierea această serie la un număr critic. Pentru o descriere a comportamentului calitativ al funcției este suficient, de obicei, de primul termen de expansiune. extinderi asimptotice și de prezentare numit pe scurt cuvântul „comportament asimptotic“. Rețineți din nou că formală asimptotică seria P c k k φ (x) nu este în mod necesar converg în comun Dle simț, și anume, nu poate exista o limita lim c k φ k (x). Mai mult decât atât, chiar dacă formal a converge seria, suma sa poate fi egală cu o altă funcție. 6.9. Arătați că: a) e x P k 1. x k x → 0 la (converge la această funcție);4.1.2 Extinderea asimptotică a funcției