Transformări ale planului, rezumate

transforma avionul

Cartografierea a planului pe sine

Se afișează plososti preobrozovanie numit astfel încât fiecare punct al planului original este mapat la orice punct din același plan, orice plan, orice punct este compararea a celuilalt punct. În cazul în care structura planului figura F este transformată într-o figură F „atunci spunem că cifra F“ - imaginea figura F, iar cifra F - prototipul figurii F“. Dacă afișajul unuia figura F fiind tradus într-o formă F „atunci cifra F“ este transferată în «formă» F maparea trimiterea F la F «» se numește o compoziție de afișare a două puncte de otobrazheniy.Nepodvizhnoy numit un punct A pe care această hartă este tradus în sine ei înșiși. Se afișează toate punctele care încă mai este numit maparea de identitate. Dacă acest ecran la diferite puncte ale figurii corespund diferitelor imagini, atunci această mapare este unul unu la. Să cifra F „obținută din figura F-one mapping f, este posibilă setarea cartografiere inverse cartografiere f, care este definit după cum urmează: compoziția și afișarea de cartografiere f, f este cartografierea identității inverse. Există mai multe tipuri de cartografiere a planului pe sine, o privire la unele dintre ele:

1. de circulație
   • traducere
   • simetrie axială
   • Rotirea în jurul punctului
   • Simetria centrală
2. asemănare
   • Dil

Mișcarea este un plan de cartografiere presupune, atunci când Cotorro sohranayayutsya toate distanțele dintre puncte. Mișcarea are o serie de caracteristici importante:

1. Trei puncte de pe aceeași linie, mișcarea trece în trei puncte pe o linie dreaptă, și trei puncte, care nu se află pe o linie dreaptă, se deplasează trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă.

Dokozatelstvo lasa puncte de mișcare A traduce, B, C la punctele A 'B', C“. Apoi egalitati

A'b „= AB. A'C „= AC. B'C „= BC (1)

În cazul în care punctele A, B, C, se află pe o singură linie, apoi una dintre ele, cum ar fi punctul B se află între celelalte două. În acest caz, AB + BC = AC, și din ecuațiile (1) care A'C '+ B'C' = A'C“. Rezultă de aici că punctul B „se află între punctele A“ și C“. Prima afirmație este demonstrată. A doua afirmație este dovedită de contradicție: Să presupunem că punctele A „B“, minciună C“pe o singură linie, chiar dacă punctele A, B, C se află pe aceeași linie dreaptă, atunci există vârfurile triunghiului. Apoi am executat inegalitatea triunghiului:

ci din ecuațiile (1) rezultă că aceeași inegalitate trebuie îndeplinite pentru punctele A 'B', B C 'sledovtelno punctele A', 'C' trebuie să fie noduri treugolka, sledovtelno punctele A 'B', C ' nu ar trebui să se întindă pe o linie dreaptă.

Lungimea mișcării este transferată către segmentul.

Când conduceți fascicul intră linia fasciculului în prryamuyu.

Triunghiul de trafic se traduce într-un triunghi.

Mișcarea păstrează valoarea unghiului.

Atunci când se deplasează zona de salvat forme poligonale.

Mișcarea este reversibilă. Mapping, mișcarea inversă este mișcarea.

O compoziție a două mișcări este de asemenea mișcare.

Utilizarea de detectare a mișcării poate da o definiție figuri ravnestva:

Două cifre se spune că sunt egale dacă una dintre ele poate fi transformat în celălalt printr-o mișcare.

tipuri de mișcare

Există patru tipuri de mișcări în plan:

1. transfer paralel.
2. simetrie axială
3. Rotirea în jurul punctului
4. Simetria centrală

Să luăm în considerare fiecare tip.

traducere

Aceasta se înțelege o mișcare de deplasare paralelă, în care toate punctele în plan sunt deplasate în aceeași direcție cu aceeași distanță.

Detalii: transportul în paralel a unui punct arbitrar din X și Y pune la conformitate astfel de puncte X „și Y“, că XX „= YY“ sau altceva putem spune acest lucru: traducerea paralelă este afișată, în care toate punctele de avion sunt mutate în același vector - vector de transfer. de transport vector de transfer specificat paralel: știind acest vector poate spune întotdeauna ce punct muta orice punct al planului.

translație paralelă este o mișcare de direcție de conservare. Deysvtitelno, chiar și atunci când paralele punct de transfer X și punctul Y mutat la X „și Y“, respectiv. Apoi XX egalitate „= AA“. Dar această egalitate pe baza vectorilor egale, ar trebui să se abțină ca XY = x'y „ceea ce implică faptul că prima XY = x'y“, adică deplasare paralelă este o mișcare, și în al doilea rând, că XY x'y“, adică direcții de traducere paralele sunt stocate.

Această proprietate este un transfer paralel - proprietatea sa caracteristică, adică afirmația: direcția de conservare a mișcării este transportul paralel.

simetrie axială

X și X 'sunt numite simetric în raport cu o linie dreaptă, și reciproc simetrice, dacă este seridiny XX segment perpendicular. Fiecare punct al liniei este considerată a fi o simetrică în sine (în raport cu linia A). În cazul dat drept o, atunci fiecare punct al X corespunde unui punct unic de X“, X simetrică în raport cu un.

Simetria plan în raport cu o linie dreaptă este o hartă în care fiecare punct al planului este atribuit un punct simmetrichenaya relativ drept s-o.

Vom arăta că simetrie axială este mișcarea metodei coordonatelor uspulzuya: ia o axă directă a coordonatelor carteziene x. Apoi, la punctul de simetrie în raport cu ea, cu coordonatele (x, y) este transformat într-un punct cu coordonate (x, -Y).

Luați oricare două puncte A (x1 y1.) Și B (x2 y2.) Și să le ia în considerare în raport simetric față de punctul de axa x A '(x1, - y1) și B' (. X2 -Y2). Calcularea distanțelor A'b „și AB, obținem

Astfel simetrie axială păstrează distanța sledovtelno este mișcarea.

planul de rotație în jurul tsetra O la un unghi (), în direcția dată se determină după cum urmează: fiecare punct al planului X este plasat în potrivirea unui punct X „care, în primul rând, OX“ = OX, pe de altă parte, și în al treilea rând, OX fascicul „întârziat din fascicul OX într-o direcție dată. Punctul O se numește un centru de rotație. sunt unghiurile și unghiul de rotație.

Să demonstrăm că rotația este o mișcare:

Să presupunem că, atunci când se rotește în jurul punctul O la punctele X și Y sopostovlyat X „și Y“ punct. Arătăm că x'y „= XY.

Luați în considerare cazul general, atunci când punctele O, X, Y nu se află pe o singură linie. Apoi, unghiul X'OY „este egal cu unghiul xOy. Într-adevăr, lăsați unghiul xOy de la OX Oy numărate în direcția virajului. (Dacă nu, atunci vom considera unghiul YOX). Apoi, unghiul dintre OX și OY „este egal cu suma unghiului XOY și unghiul de rotație (de la OY la OY“):

Pe de altă parte,

Deoarece (rotații) sledovtelno. Mai mult, OX '= OX și OY' = OY. Deci, - pe cele două părți și unghiul dintre ele. Sledovtelno x'y „= XY.

Dacă punctul O, X, Y sunt coliniari, segmentele XY și x'y vor fie suma, se bucură de diferența de segmente egale OX, OY si OX ', OY“. Prin urmare, în acest caz, x'y „= XY. Astfel, rotația este o mișcare.

Simetria centrală

Puteți da următoarea definiție:

simetrie centrală Tsetr cu punctul O este un plan de mapare în orice punct X care este asociat un punct X „punctul O este XX segment seridiny“.

Cu toate acestea, se poate observa că simetria centrală este o anumită turnură a evenimentelor, și anume, de cotitură 180 de grade. Într-adevăr, chiar și cu o simetrie centrală în raport cu punctul de punctul O X mutat X“. XOX Apoi unghi = 180 de grade ca detaliate, și XO = OX“, sledovtelno o astfel de conversie este rotită cu 180 de grade. Rezultă, de asemenea, că simetria centrală a unei mișcări.

Simetria centrală este mișcarea inversează direcția când Adică, cu o simetrie centrală în raport cu punctul O la punctele X și Y corespund punctului X „și Y“, al

Dovada: Din moment ce punctul O - punctul central al XX“, atunci, în mod evident,

În acest sens vom găsi x'y vector „:

X'y '= OY' # 45; = OX“ # 45; OY + OX = # 45; (OY # 45; OX) = # 45; XY

Astfel = x'y“ # 45; XY.

Dakazannoe proprietate este o proprietate caracteristică de simetrie centrală, și anume, opusul este adevărat, este un semn de simetrie centrală: „Mișcarea, inversează direcția, este o simetrie centrală“

Pe simetria cifrelor

Se spune că cifra are simetrie (simetrică). în cazul în care există o astfel de mișcare (nu identice) care poartă această cifră în sine.

De exemplu, figura are simetrie de rotație. în cazul în care trece o anumită poftă de mâncare.

Luați în considerare simetria unor cifre:

1. Segmentul are două axe de simetrie (perpendiculară și linia care conține segmentul) și un centru de simetrie (mijloc).
2. forma generală a unui triunghi nu are axe sau centre de simetrie, este asimetric. Isoscel (dar nu echilateral) triunghi are simetrie: perpendiculara pe sol.
3. triunghi echilateral are trei axe de simetrie (perpendicularele mijloc spre laturile) și o simetrie de rotație în jurul unui centru de unghi de rotație de 120 °.
4. Orice gon n-regulat este n axe de simetrie, toate acestea trec prin centrul său. De asemenea, are simetrie de rotație în jurul centrului de unghiul de rotație Q.

Când n este chiar, o axă de simetrie care trece prin cele două vârfuri opuse, altele # 45; prin mijlocul laturilor opuse.

Pentru n impar, fiecare axă care se extinde printr-un nod și vizavi de partea de mijloc.

Centrul de poligon regulat, cu un număr par de laturi este centrul său de simetrie. Într-un poligon regulat cu un număr impar de laturi ale unui centru de simetrie acolo.

1. Orice linie care trece prin centrul cercului este axa de simetrie, circumferința de asemenea, are simetrie de rotație, unghiul de rotație poate fi arbitrară.

Cu factor de similaritate k> 0 este un plan de mapare în care oricare două puncte X și Y corespund acestor puncte X „și Y“, care x'y „= kXY.

Rețineți că, atunci când k = 1 este similitudinea mișcării, adică mișcarea este un caz special de similitudine.

Figura F este similară cu figura F „cu coeficientul k. în cazul în care există o similitudine cu care transformă F în coeficientul k F“.

Un exemplu simplu, dar important de similitudine este un homothety

Homothety centrată la O și coeficientul k este un plan de mapare, în care fiecare punct este mapat la un punct X X „că OX“ = Kox, în care nici o posibilitate islyuchaetsya și k<0.

Pentru k = # 45; 1 se obține simetrie centrală centrat la punctul O, atunci când k = 1 se obține transformarea identității.

Proprietatea principală de dilatare

Homothety cu koefffitsientom k fiecare vector este multiplicat cu # 107; . Mai mult: în cazul în care punctul # 65; și # 66; Homothety cu koeffffitsientom # 107; a trecut în termeni # 65; „și # 66; “Atunci

Să punctul # 79; # 45; centru de homothety. atunci # 79; # 65; „= # 107; # 79; # 65;. # 79; # 66; „= # 107; # 79; # 66;. prin urmare # 65; „# 66; „= # 79; # 66; ' # 45; # 79; # 65; „= # 107; # 79; # 66; # 45; # 107; # 79; # 65; = # 107; (# 79; # 66; # 45; # 79; # 65; ) = # 107; # 65; # 66;.

din ravnetsva # 65; „# 66; „= # 107; # 65; # 66; rezultă că A'b „= | k | AB, adică un homothety cu coeficientul k este o similaritate cu koefffitsientom | k |.

Rețineți că orice asemănare cu coeficient # 107; Acesta poate fi reprezentat ca un raport homothetic cu compoziția # 107; și mișcare.

Unele proprietăți de dilatare

1. segment Dil se traduce într-un segment.
2. Dil păstrează valoarea unghiurilor.
3. O compoziție a două dilatări cu un centru comun, iar k1 coeficienți și k2, va homothety cu același centru și coeficient de transformare inversă raport cu homothetic # 107; Acesta va homothety cu același centru și coeficientul de 1 / k.

proprietăți de similaritate.

1. segment Similitudinea se traduce într-un segment.
2. Valoarea Similitudinea salvează unghiuri.
3. triunghi Similitudinea se traduce într-un triunghi. Părți ale acestor respectiv triunghiuri sunt proporționale, iar unghiurile sunt egale respectiv
4. Ca urmare, factorul de similaritate # 107; Cifrele sunt multiplicate cu pătratul # 107; 2.
5. Compozitia similarități cu k1 și k2 coeficienți este o similaritate cu k2 coeficient k1.
6. Similitudinea este reversibilă. Cartografierea imagine inversă cu un factor de # 107; este o asemănare cu coeficientul 1 / # 107; .