teorema lui Huygens

Teoreme ilustrare pentru zona

Teorema Huygens - Steiner (. Teorema teorema lui Huygens Steiner): Momentul de inerție J a corpului în raport cu o axă fixă ​​arbitrară este egal cu suma momentului de inerție al corpului JC> în raport cu axa paralelă care trece prin centrul de masă al corpului și al unui m pătrat de masă corporală de distanța d dintre axele [1]:

J - momentul dorit de inerție față de o axă paralelă, J C> - cunoscut moment de inerție față de o axă care trece prin centrul de masă, m - masa corpului, d - distanța dintre respectivele axe.

Teorema este numit după matematicianul elvețian Yakoba Shteynera și matematician olandez, fizician și astronom Hristiana Gyuygensa.

Prin definiție, momentul de inerție al J C> și J poate fi scris

unde r> - vectorul raza unui punct din corpul sistemului de coordonate cu originea situată în centrul de masă și r # X2032; „> - vector raza unui punct în noul sistem de coordonate, care prin noua axă trece.

Vectorul rază r # X2032; i _> poate fi scris ca suma a doi vectori:

în care d> - distanța vector raza între vechi (care trece prin centrul de masă) și noile axe de rotație. Apoi expresia momentului de inerție devine

J = # X2211; i = 1 n m i (i r) 2 + 2 # X2211; i = 1 n m i r i d + # X2211; i = 1 n m i (d) 2. ^ m _ (\ mathbf _) ^ + 2 \ sum _ ^ M_ \ mathbf _ \ mathbf + \ sum _ ^ _ m (\ mathbf) ^.>

J = # X2211; i = 1 n m i (r i) 2 + d 2 # X2211; i = 1 n m i r i + d 2 # X2211; i = 1 n m i. ^ M _ (\ mathbf _) ^ + 2 \ mathbf \ sum _ ^ M_ \ mathbf _ + d ^ \ sum _ ^ _ m.>

Prin definiție, centrul masei sale vectoriale raza r c _> efectuate

Deoarece sistemul de coordonate cu originea situat la centrul de masa, vectorul raza centrului de masă este zero, atunci zero și suma # X2211; i = 1 n m i r i ^ M_ \ mathbf _>.

ceea ce implică formula dorită:

unde J C> - momentul de inerție cunoscut în jurul unei axe care trece prin centrul de masă al corpului.

În cazul în care organismul nu constă din puncte materiale, și au format în greutate distribuite în mod continuu, însumarea tuturor formulelor de mai sus se înlocuiește cu integrarea. Linia de raționament, în acest caz, rămâne aceeași.

Corolar. Din această formulă, este evident că J> J C>. Prin urmare, putem afirma moment de inerție față de o axă care trece prin centrul de masă al corpului este cea mai mică dintre toate momentele de inerție față de axe având o direcție dată.