Tehnici de calcul sume secvențe infinite

În magazin, este un număr infinit de matematicieni. Primul-am cerut un kilogram de zahăr, al doilea - o jumătate de kilogram, al treilea - trimestru al unui kilogram.
-Deci! - a întrerupt vânzătorul - Luați două kilograme și să fie plecat.

Deci, prima întrebare care trebuie luate în considerare - de ce suma de +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ puncte „> este egal cu doi.

Să ne dovedesc acest lucru în două moduri.

În prima metodă, în general, nu este nevoie să opereze cu secvențe infinite, astfel încât să poată fi afișate chiar și în clasele 6, imediat după grade de învățare.

Adăugați la ambele părți ale fracțiunii „> Preluare .:

Apoi se prăbușește suma a două fracțiuni, fiecare dintre care este egal cu> „>:

Suma va fi eliminată treptat de la marginea din dreapta, ca o serie de piese de domino. Se termină această expresie:

Se înțelege că mai mare n, inferior S va fi diferit de doi.
Pentru a rezolva a doua cale din nou scrie suma dorită
+% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots „>

B scade prima ecuație în al doilea:

Toți termenii cu excepția primei, să fie distruse și vom obține:
= 1 „>

Această metodă este folosită într-o formă generală pentru derivarea suma progresie geometrică.

Deci, primul nostru rezultat astăzi.

Dar întrebarea cheie este cum să se gândească la această lege? Se pare că, dacă numitorul este produsul, acesta este suma de fracțiuni, ale căror numitorii sunt factori de leziuni care apar în această lucrare.

În acest caz,

Găsiți aceste A și B, prin reducerea cantității înapoi la un numitor comun:
+% 2B + \ frac = \ frac „>

Numărătorii trebuie să fie identic egal, prin urmare,
A + B = 0 și A = 1.

Prin urmare, B = -1. Prin urmare, obținem relația:

Această abordare este, de asemenea, aplicabilă atunci când numitorii sunt produse mai complexe.

Acum, ia în considerare ce se va întâmpla în cazul în care numitorul va fi o putere de două, iar numărătorul - numerele naturale succesive. (O problemă similară este ridicată într-un articol despre generatorul de numere aleatorii mecanice.)
găsi suma
+% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots „>.

Acest lucru se poate face în două moduri. În primul denotă cantitatea necesară ca S, găsi jumătatea ei și scade jumătate din întreg:

A doua metodă este ceva mai lungă, dar este construit pe ideea de a nu mai puțin frumoasă.
Scriem suma sub forma unui triunghi:

Astfel încât cantitatea necesară este +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots = 4 „>

Destul pentru azi. O privire la o săptămână, care ar fi în cazul în care suma a treia în numărătorul va merge numerele lui Fibonacci ca Euler a demonstrat că suma pătratelor inverse este egală cu o șesime dintr-un pătrat de pi, și de ce seria armonică divergenta.