Suprafața proiectată a unui plan figura 1
51. Suprafața plană a poligonului este egală cu 150 cm 2. Localizați zona proiecției poligonului pe planul, unghiul plan poligon compoziție la guvernare de 60 °.
52. Dan triunghiul ABC cu laturile I = 13 cm, 6 cm = 14, c = 15 cm. După partea soarelui și planul ținut sub un unghi de 30 ° față de planul A ABC. Găsiți zona de triunghi proiectat pe un plan.
53. Găsiți o zonă poligon plană, în cazul în care suprafața de proiecție sale este de 20 m 2, iar unghiul diedru dintre planul poligon și proiecția acestuia este de 45 °.
54. Localizați zona intervalului de proiecție pe un plan care formează un unghi cuprins plan de 30 °. Raza cercului este egală cu 2 m.
55. 1) Să se arate că dacă două unghiuri plane, linii drepte și opuse diedrului ugly--le drept în unghiul triedru.
2) Să se arate că, dacă un unghi triedru unghi cu două fețe cu două drepte, opusul drept ugly- le plat.
56. Fiecare unghi plan unghi triedru este de 60 °. La una din marginile sale din vârf întârziată a lungimii segmentului, care este egală cu o și omis perpen-dikulyar la fața opusă a capătului segmentului. Găsiți lungimea perpen-dikulyara.
57. Fiecare dintre unghiurile plane de colt triunghiulare ra-vene precum. Calculati unghiul dintre coaste și fața opusă.
§3. PROBLEME MIXTE
58. cub ABCDA1 B1 C1 secțiunea D1 aluneca prin mijlocul lui nervura A1 D1 și D1 C1 și vertex A. Se calculează aria acestei secțiuni, cu excepția cazului în coaste este egală cu un cub.
59. Din punctul O situată în exteriorul două planuri paralele a și p, a avut loc trei grinzi plane care se intersectează și p-venno Corespunzător la punctele A, B, C, și Au Bu Ct (OA<ОА^). Вычислите периметр треугольника А^В^С^ если ОА=т, АА1 = п, АВ=с, АС=Ь, ВС=а.
60. Punctul M se află în afara planului dreptunghiular triunghi ABC nick (C = 90 °); MA1AS, MS1SV. Demonstrati ca MA1lt. ABC.
61. Baza mică a trapezului situată în planul și care este distanțată de baza mai mare a trapezului de 10 cm; baza de trapez sunt 3: 5. Găsiți distanța dintre punctul de intersecție al diagonalelor trapezului dintr-un avion.
62. Unghiul triunghiului ABC în linie și BC = a. Din vârful A avut loc perpendicular pe planul triunghiului AD. Găsiți distanța de la punctul D, până la picior BC, atunci când DC = m.
63. Într-un triunghi ale cărui laturi sunt egale cu 10, 17 și 21 cm de vârful unghi mai mare a avut loc perpendicular pe planul său, egală cu 15 cm. Se calculează distanța de la capătul perpendiku-lyara situată în afara planului triunghiului, o parte mai mare a triunghiului.
64. Picioarele unui triunghi dreptunghic egal cu 18 și 32 cm. Din punctul D, ipotenuza împărțirea în jumătate, a avut loc perpendicular pe planul triunghiului DE, egală cu 12 cm. Se calculează distanța-set din punctul E la fiecare picior.
65. Prin partea de sus a pătrat a avut loc înclinată față de planul, ceea ce face un unghi și pe fiecare parte a pieței, care trece prin acest vârf. Găsiți unghiul dintre înclinația pătrat diagonală și clorhidric.
66. Într-o parte a rombului transportate plane generatoare cu unghiurile diagonale a și 2a. Se calculează unghiul ascuțit al rombului.
67. Baza unui triunghi isoscel este egală și unghiul la vârful A; prin baza triunghiului ținut COSV os formând cu fiecare din laturile sale laterale ale unghiului p. Găsiți distanța acestui plan de la vârful triunghiului.
68. Segmentele cuprinse între două planuri paralele, care sunt, ca 2: 3, și unghiuri formă cu planul, raportul dintre care este 2. Unghiurile Calculare zggi.
69. Două pătrate egale au o latură comună; avioanele formează un unghi diedru egal cu un. Din totalul vârfuri din fiecare dintre pătrate a avut loc pe diagonală. Calculati unghiul dintre diagonalele.
70. una față un unghi diedru ascuțit unghi drept de 30 ° față de cealaltă față și la un unghi de 45 ° la margine. Calculați unghiul diedru.
71. Cele două triunghiuri echilaterale au o bază comună, iar avioanele lor formează un unghi de 60 °. O bază comună egală cu 16 cm, o parte laterală a triunghiului este de 17 cm, iar partea sa ne Stora altele reciproc perpendiculare. Calculați distanța dintre vârful triunghiului.
72. Într-una dintre fețele unui unghi diedru egală cu o, o linie este trasată, formând un unghi P cu marginea unghiului diedru. Găsiți unghiul de înclinare al acestei linii la cealaltă față.
73. Unghiul triedru fiecare unghiuri plane este de 60 °. Prin punctul A, luată la una din marginile de colț și în regiunea vertexului, realizată plan perpendicular pe această margine, iar celelalte două margini care se intersectează în punctele B și C. Găsiți un triunghi ABC perimetru.
74. Unghiul doi triedru plat unghi egal 45 °, și un unghi plan al treilea cuprinde 60 °. Calculați un unghi diedru situată în al treilea unghi anti-plan.
75. Unghiul triedru fiecare plan de unghiuri egale cu un. Găsiți unghiurile diedre.
1) Din centrul cercului circumscris despre un triunghi dreptunghic cu un unghi ascuțit de 30 °, a făcut să stea perpendicular pe planul său, lungimea co-torogo este de 6 cm. End perpendi-kulyara situată în afara planului triunghiului îndepărtat de theta mai mare ka-10 cm. Se calculează ipotenuza triunghiului.
2) isoscel Two-eschafoda poligon ABC și au un ACD comun
bază AU, AU unghiul diedru este de 60 °, iar unghiul format de Rhone-sute BC cu avionul ADC este de 45 °. BC laterală este egală cu 6 cm. Zona Computation-Leith a triunghiului ABC.
1) Un avion este dat direct unghi triunghi ipotenuzei, care este de 12 cm. Spațiul-stve punct dat, distanta de la kazh-Doi triunghi vertex 10 cm. Se calculează distanța punctului din avion.
2) Baza AU triunghi isoscel ABC-TION se află într-un plan și vârful este scos din avion într-un 3 ^ / cm 2. Calculați aria triunghiului ABC, dacă AC = 18 cm, și un triunghi plan ABC înclinat într-un plan înclinat 45 °.
Capitolul 21 VECTORI în spațiu
CONCEPTE DE BAZĂ. coordonate carteziene în spațiu
1. Vectorii în spațiu. În spațiul respectiv, precum și pe planul, un vector este numit un segment direcționat. Doar definesc conceptele de bază ale vectorilor în spațiu: o unitate de vector, direcția vectorului, egalitatea de vectori.
Vectorii sunt situate pe linii paralele cu același plan, sau situată în acest plan sunt numite coplanare.
Trei vectori, printre care există cel puțin un zero vector sunt considerate coplanare.
Orice spațiu vectorial și poate fi extins în trei non-coplanar predeterminate vectorilor a, b la c:
2. dreptunghiular sistem de coordonate în spațiu. Lăsați ușor din spațiul dat triplu al vectorilor unitare ortogonale i pereche, J și depozitat dintr-un punct de pornire O (fig. 161). Astfel de vectori sunt numite trei baza dreptunghiulară ^ în spațiu. Setul de originea O, și baza dreptunghiulară (f, j, 1c) se face referire la un sistem de coordonate rectangulare în spațiu.
Vectorii de descompunere și baza (£ J, u are forma
Coordonatele M-număr de x, y, z (fig. 162), în sistemul de coordonate-me-numit vectorul coordonatele OM = a.
Dacă OM = a = (x, y, z), atunci scrie M (x, y, z). Numărul x numit-SOI abscisă, ordonata si y-z-applicate punct vectorul M sau OM = a. Acasă Despre vectori este numit origine. Axele definite de vectori /, j, k, numit axele de coordonate, iar avioanele care trec prin fiecare două axe de coordonate, un planuri coordonate. Din spațiu în care un sistem de coordonate dat, numit ușor de coordonate a spațiului.
Coordonata avioane împart totul pentru a nu le aparțin, în ceea ce privește spațiul în opt zone, octante.
Punctele de pe planul de coordonate, sunt una dintre coordonatele zero. Punctele situate pe axele de coordonate, coordonatele sunt două, egale cu zero. Originea are toate cele trei coordonate sunt egale cu zero.
Semne de coordonatele punctelor în spațiu sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Dacă toate coordonatele vectorului și diferit de zero, atunci acest vector poate fi reprezentat ca o diagonală a unui paralelipiped dreptunghiular, valoarea numerică a lungimilor de margine de care sunt egale cu [x \, [y | (. 162 Fig), \ z \.
Predeterminate bază dreptunghiulară (T, j, k) fiecare trei cifre (x, y, z) definește un singur vector pentru care aceste numere sunt coordonate.
Prin definiție, au o bază dreptunghiulară
T'j = 7 „k = J * / C = O, T = 2/2 = £ 2 = 1.
Dacă începutul vectorului și un punct A (xA, YA; zA), - sfârșitul punctului B (xB, yB, zB), vectorul a = AB are coordonatele egal cu diferența dintre Coordonata corespunzătoare punctelor B și A:
și este scris sub forma
3. Reguli de acțiune pe vectori, având în vedere coordonatele lor.
coordonatele sumei a două (sau mai mulți) vectori de cantități egale Corespunzător termeni vuyuschih coordonate, adică a + S = .. (x + 1 x 2; ± y + y2; z1 + z2);
coordonatele diferenței dintre doi vectori egal cu diferențele dintre coordonatele corespunzătoare ale acestor vectori, adică, a-b = (x1 -X2; y1 -Y2; z1 -z2) ..;
coordonatele produsului vectorial al numărului egal cu produsul dintre coordonatele corespunzătoare ale vectorului în această figură: w = x =; tumzJ.
4. Starea de coliniaritate a doi vectori. Condițiile coliniaritate a doi vectori a = (x 1, y ±, z ^) și S = (x2; y2; z2) are forma
Dacă m> 0, atunci vectorii a și b au aceeași direcție; în cazul în care T<О, то направления векторов противоположны.
5. Lungimea vectorului. o lungime vector (distanța dintre două puncte) se calculează cu formula:
Lungimea vectorului razei este calculată printr-o formulă
\ A \ = y / x 2 + y 2 + z 2. (21,7)
6. Se împarte segmentul în această privință. Dacă segmentul AB este împărțit punctul C împotriva AC: CB = X, atunci coordonatele punctului sunt date de
7. cosinusului direcția vectorului. Unghiurile formate de vectorul rază și axele de coordonate Ox, Oy, Oz, calculate prin formulele
1 D 1 y / x 2 + y 2 + z 2 \ a \ y] x 2 + y 2 + z 2 \ a \
Cosinusului, calculate în conformitate cu aceste formule sunt numite direcție cosinusului ale vectorului a.
Pentru cosinus direcția de relația vectorului calele:
cos o + cos 2 2 R + cos 2 y = 1 (21,11)
1. Segmentul AB, unde A (7, 2, -3), B (-5, 0, 4), este împărțit în raport cu punctul C X = AC: CB = 1: 5. Găsiți coordonatele punctului C.
Substituind în ecuația (21.8) = 1 Valorile xA, YA = 2, zA - -3, Xjg - - 5, uv = 0, zB == 4 și X = 1/5, obținem:
7 + (1/5) (- 5) 2+ (1/5) • 5 0 - 3+ (1/5) -4 11
1 + 1/5 „Vc 1 + 3 1/5„1/5 1 + 6'
Astfel, C (5; 5/3; -11/6). f
2. Găsiți cosinusului unghiurilor care vectorul a = 7-2 / 2k + forme cu vectorii de referință.
La Formula (21,6) și găsiți lungimea vectorului:
\/ 12 + (- 2) 2 + 2 2 = 3.
Conform formulelor (21.10) găsim cosinusului unghiurilor formate de date vectoriale cu vectorii de bază: cos a = 1/3, cos p = -2/3, cos y = 2/3. f
3. Dan paralelipiped ABCDA ^^^ D ^. Pune-1) de la punctul
Un CD vector; 2) de la punctul Bt vectorul AB; 3) din vectorul C AAV punctul
4 ^ Dan tetraedru ABCD. Găsiți suma vectorilor ^ 1) BC + CD +
+ DA; 2) AD + DC + CB; 3) AB + i + CD + DA.
6. Dana prism ABCA ^ B ^ C ^. Găsiți suma vectorilor:
7. Fie M punctul central al AB, și O este un punct arbitrar în spațiu. Dovedi că egalitatea OM = (OA + OB) / 2.
8. Dan tetraedru ABCD ^ Din punctul în otlozhite_vektor, vector anti-cumparand: 1) AD; 2) CD; 3) AB; 4) SS.
9. Dincolo de un triunghi ABC plan punctul O. luat în afară de vectorii O: 1) OB-OA; 2) OC-RH; ^ 3) OA - OB + OS.
10. Dan tetraedru ABCD. Demonstrati ca AD + BC = BD + AC.
11. Să considerăm paralelogram ABCD, și este un punct arbitrar O. Demonstrati că OA + OC = OB + OD.
12. Fie intersecția M-punct al medianele triunghiului ABC și O este un arbitrar ^ gochka_prostranstva. Demonstrați că egalitatea OM = (OA + OB + OS) / 3.
13. Dan paralelipipedica ABCDA ^ B ^^ D ^ să identifice care dintre următorii trei vectori coplanari 1) AB, BC, DDT; 2) AAl9
bj? SSG; 3) AB BC, MHS; 4) D AD, 5) D
14. Care sunt cele trei perechi ordonate de noduri ale tetraedru ABCD, specificând vectori coliniare, și trei perechi ordonate care definesc vectori coplanare și non-coplanare.
15. Dan paralelipipedica ABCDA ^ B ^^ D ^ Lay-cadre ale vectorilor AB = p, q = AD și r = AA1 vectori: 1) ADX; 2) ACX; 3) AM,
unde M este punctul de mijloc FIW 4) AN, unde N-punctul de mijloc în ± C; 5) AP unde PeDl CI și D1 P: PC1 = 3A.
16. Dan tetraedru ABCD. verge Metsiany ^ ABC se intersectează în punctul vector M. Lay DA vectorilor DB, DC, DM.
17. Să considerăm paralelogram ABCD și în afara punctului M. Lay vectorii MA = a, CF = b = c vectorii MS: 1) MO, unde punctul de intersecție al liniilor O-AC și BD; 2) MD; 3) MN, în care N-middle segment AD.
18. Puncte de pornire: A (2; 3; 4); B (- 2, -3, -4); C (- 2 - 3, 4); D
19. Care sunt coordonatele vectorului 1) 3i + 2j-5lc; 2) 2i-k;
0,57 + JLJ; 4) 3 £; 5) -4 /; 6) (G.
20. Date fiind vectorii: 1) d = 2 / + 3 / - 5FC; 2) 5 = - / -2y + 3FC. Vo ice-porcarie coordonatele lor.
21. Vectori 1 Punct de pornire:) a = (2; 3; 4); 2) 5 = (2, -3, -4);
22. vectorul construct AB, unde: 1) A (2, -3, 4) și / (- 3, 2, -5)?
A (0, -2 și 3) și D (5, 0, -4).
23. Cunoscând coordonatele punctelor A (4, -3, 2) și 2 (- 2; 4; 3) ?, N (0, 5, 1)
și N (-4; 0, -3), obține coordonatele vectorilor AB și ^ MN.
24. Cunoașterea coordonatele vectorilor a = (? 2 3 - 4] = L ^ (-1, 2, 1) u = (3, 0, 2), pentru a primi coordonatele vectorilor ^ 1) a + b; 2) a + c; 3) a + b - c; 4); 5) - I + 2c; 6) D + 2a - 2c.
25. Utilizarea stării coliniaritate a doi vectori, pro-încredere dacă vectorii sunt coliniari: 1) = (2/5; 1/3; 4/5) și L =
26. Pentru care valorile vectorilor sărbătoare a = (- 3, l, 4) și B = (- 2 ;? 4, /) sunt coliniari? ^
^ ^ 27. Se calculează lungimea vectorului: 1) a = - 7- 2J + 2k \ 2) 6 = T + 2 / - s £; 3) C 7-1s; A4) * = - £ 3
28. Se calculează vectorul dliyu I + 5, unde: 1) n = (- 1, 2, 1),
29. Se calculează lungimea vectorului Gia + 26, în cazul în care a = (2; 0; 0) 6 = (1, 1, -1).
30. Se calculează lungimea vectorului AB, în cazul în care J 4 (5, 3, 1) și B (4, 5, -1).
31. Găsiți perimetrul triunghiului format de vectorii AB, BC și CA, în cazul în care L (8, 0, 6), B (8; -4, 6), C (6; -2, 5).
32. Un segment B este dat coordonatele capetelor A sale (4; 2; 3) și B (6, -4, -1). Găsiți coordonatele punctului care împarte segmentul în jumătate.
33. Linia AB este dată capetele sale coordonate A (3, -2, -5) și 5 (7; 6; - 1). Găsiți coordonatele punctului de diviziune ea în relație X = AC: CB = 1: 3.
34. Găsiți punctul de intersecție al medianele triunghiului, în cazul în care nodurile sunt punctele A (1 \ -4, 5), B (- 1, 8 - 2) C și (-12, 1, 6).
35. Găsiți cosinusului unghiurilor care formează vectorii de bază din următorii vectori: 1) a = f-f / - + k; 2) 5 == (4, 3, 0); 3) = - / - 3FC; 4) 3 = 31