spațiu metric, matematică, fandomului alimentat de Wikia

Definiția formală a dreptului

Un spațiu metric este un set de puncte M ale unei funcții distanță (numită, de asemenea, o măsurătoare) (în care reprezintă mulțimea numerelor reale). Pentru orice puncte de x. y. M z acestei funcții trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

d (x. y) ≥ 0
d (x. y) = 0 x = y.
d (x. y) = d (y. x) (simetrie)
d (x. z) ≤ d (x. y) + d (y. z) (triunghi inegalitate).

Aceste axiome reflectă noțiunea intuitivă de la distanță. De exemplu, distanța trebuie să fie non-negativă, iar distanța de la x la y este la fel ca și de la y la x. Inegalitatea triunghiului înseamnă că merg de la x la Z poate fi mai scurt, sau cel puțin nu mai mult decât prima trecere x la y. și apoi de la y la z.

exemple Editare

Discrete metrice. d (x, y) = 0 dacă x = y. și d (x, y) = 1 în toate celelalte cazuri.

Numere reale ale funcției distanță d = | y - x (x y.) | spațiu euclidian și sunt spații metrice complete de.

metric oraș Manhattan sau: plan de coordonate, care distanța este definită ca suma distanțelor dintre coordonatele. Un exemplu mai frecvente: orice spațiu normat poate fi convertit în metrice, definind o funcție de distanță d = || y - x ||, în cazul dimensiunii finită se numește Minkowski [1] (a nu se confunda cu un alt spațiu Minkowski) (x y.) .

Așa-numita metric de cale ferată franceză este un exemplu, care este adesea citat ca un exemplu al metricii nu este generată norma.

Orice conectat riemannian colector M poate fi transformată într-un spațiu metric, determinarea distanței ca infimumul lungimilor căilor de conectare o pereche de puncte.

Orice set de noduri conectate graf G pot fi convertite într-un spațiu metric, determinarea distanței ca numărul minim de muchii din calea care leagă nodurile.

O multitudine de subseturi compacte K (M) orice spațiu M metric poate fi convertit într-un spațiu metric, determinarea distanțelor folosind așa-numita metric Hausdorff. În aceste două subseturi metrice sunt apropiate unul de altul, în cazul în care pentru orice un set poate fi găsit în apropierea punctului în celălalt subset. Aici este o definiție precisă:

D (X. Y) = infr: pentru orice x X există în Y cu y d (x y.) .

Setul tuturor spațiu metric compact (până la izometrie), poate fi transformată într-un spațiu metric, determinare a distanțelor folosind așa-numita metrice Gromov - Hausdorff.

Related determinarea Editare

Un spațiu metric se numește completă. în cazul în care orice secvență fundamentală converge la un element al spațiului.
D metric pe M se numește intern. în cazul în care oricare două puncte x și y în M poate fi conectat la o lungime a unei curbe în mod arbitrar aproape d (x. y).
Orice spațiu metric are topologie naturală. baza pentru care este un set de bile deschise. și anume seturi de tipul următor:

B (x, r) = y în M: d (x, y) , unde x este un punct în M și r - un număr real pozitiv numit raza balonului. Cu alte cuvinte, setul este deschis, dacă pentru orice punct există un număr pozitiv, astfel încât o multitudine de puncte la o distanță față de membrul inferior.

Două valori care definesc aceeași topologie sunt echivalente.
Un spațiu topologic, care poate fi obținută în acest mod se numește metriziruemym.
Rasstoyanied (x, S) de la podmnozhestvaS tochkixdo la M este dată de:

d (x, S) = infd (x, s): s ∈ S> atunci d (x S.) = 0, numai dacă x aparține închiderii S.

Uneori, considerat cu valorile metrice [0, ∞]. Pentru orice astfel de măsurătoare se poate vedea finala metric d '(x. Y) = d (x. Y) / (1 + d (x. Y)) sau d' „(x. Y) = min (1, d (x . y))). Aceste spații metrice au aceeași topologie.

Editare proprietăți

spațiu metric compact dacă și numai dacă oricare dintre punctele secvenței convergent.
spațiu metric nu poate avea o bază numărabil. dar întotdeauna satisface prima axioma numărabilitate - o bază numărabilă la fiecare punct.
- Mai mult decât atât, fiecare spațiu metric există un punct de bază, că fiecare punct al spațiului are doar un set numărabilă de elementele sale - punct de bază numărabilă (mai slab, dar această proprietate, chiar și în prezența paracompactness metrizability și Hausdorff).
- Mai mult decât atât, fiecare CD-ul într-un spațiu metric are o bază de cartier numărabil.

Variații și generalizări Editare

Pentru acest set, funcția se numește pseudo-metrice pe dacă pentru orice puncte de x. y. z M îndeplinește următoarele condiții:

Aceasta este, spre deosebire de valorile diferite puncte pot fi situate la o distanță de zero. Pseudometric definește în mod natural o măsurătoare pe câtul unde.

Metrica pe spațiul numit ultrametric. dacă îndeplinește puternic inegalitatea triunghiului.

istoria juridică

Moris Freshe introdus pentru prima dată conceptul de spațiu metric în lucru Quelques lui Sur puncte du fonctionnel calcul. Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1-74, în legătură cu spațiile funcționale.