Soluția ecuației Schrödinger a inconstant în acest caz, are forma

INTRODUCERE ÎN Mecanicii Cuantice (continuare)
13.1 ecuația Schrodinger pentru particule libere
Atunci când mișcarea liberă a unei particule de energia sa potențială
= 0, iar viteza de deplasare este constantă. Directăm axa x de-a lungul vectorului, și cu o alegere adecvată a originii energiei potențiale pune U = 0. Atunci ecuația staționare Schrödinger (12.11) ia forma:

Ecuația (13.1) are o soluție care poate fi reprezentată în formă complexă

unde A și B - sunt constante.

Ecuația dependentă de soluție Schrödinger, în acest caz, este următoarea:

Soluția rezultată este o superpoziție a două unde plane cu o frecvență unghiulară, unul dintre care se propagă în direcția pozitivă x cu o amplitudine A.  alta în direcția opusă amplitudinea B. Dintr-o comparație cu formula (13.5) la un val monocromatic plat rezultă că numărul de undă k este egal cu particulele libere.

Astfel, particula liberă în mecanica cuantică este asociat planul monocromatică de unda Broglie.
13.2 Decizia ecuației staționare Schrödinger pentru o particulă
într-un potențial bine pătrat infinit de adâncă
Să considerăm mișcarea particulelor de-a lungul direcției x. în care mișcarea este limitată de ziduri impermeabile la particule: x = 0 și x = l. Potențialul energetic U în acest caz este (ris.13.1):

ecuația Schrödinger în acest caz, este următoarea:

Probabilitatea de a găsi particula în afara sondei este egală cu zero, din moment ce particula nu poate avea energie infinita. Din condiția de continuitate a funcției de undă, care ar trebui să fie zero, iar la granițele gropii, adică. E.

Fig. 13.1
In regiunea unde  nu este identic nulă, ecuația (13.3) ia forma:

Notăm, apoi (13,5) ia forma

Soluția acestei ecuații, după cum se știe, are forma:

Și vom găsi  , folosind condițiile limită (13.4) Condiția  (0) = 0, obținem:

ceea ce implică faptul că  = 0. Condiția ca  (l) = Un l păcat = 0 avem:

Din (13.6) rezultă că soluția ecuației (13.5) va avea nici un sens fizic la toate energiile E, dar numai pentru valori care satisfac condiția:

Raportul (13.7) indică faptul că, altele decât valoarea energetică a particulelor Ennevozmozhny: probabilitatea de a găsi potențialului bine în interiorul particulei cu o energie, alta decât En, este zero. cantități fizice, care pot lua doar anumite valori discrete sunt numite cuantificată.

Astfel, energia unei particule într-un potențial bine este cuantificată.

^ Valorile cuantificați Epnazyvayutsya nivelurile anergie, iar numărul n. Determinarea nivelurilor de energie ale electronilor, numite numere cuantice.

Pentru a determina coeficientul de utilizare condiție O normalizare a funcției de undă, care, în acest caz, putem scrie:

Integrala în ultima expresie este. Ca rezultat, am provin din.

Astfel, o funcție privată a unei particule într-un potențial infinit și profund este de forma:

D
RAFIKI densitate de probabilitate de a găsi o particulă la distanțe diferite față de peretele găurii la diferite valori ale lui n.

De exemplu, la un potențial bine cu dimensiuni proporționale cu l atom valoare dimensiune

10 -8 m și o energie de electroni valori proprii formează o secvență de niveluri de putere, distanța dintre care = En + AE 1 - En  1 eV. Potențialului bine de dimensiuni macroscopice

1 cm nivele energetice vecine sunt diferite unele de altele prin

^ 13.3 armonic oscilator. spectru de energie oscilator.
oscilații punctului zero

oscilator armonic Classic este o minge cu o masă m. Suspendat pe un arc. Dacă vom direcționa axa x și de-a lungul axei arcului ca poziția de referință mingea va lua echilibru, forța care acționează asupra mingea F., va fi asociată cu coordonate cunoscute x formula F = -kx. unde k - constantă elastică.

Energia potențială a mingea este dată de

Dacă o astfel de stare talon dezechilibru, se va efectua oscilații armonice cu frecvența  = (k / m) 1/2.

De la (13,9), care curba de potențial oscilator armonic este o parabolă. Prin urmare, problema a oscilatorului armonic - aceasta este problema comportamentului unei particule într-un potențial bine de formă parabolică.

Pentru a rezolva problema de oscilator mecanicii cuantice este necesară găsirea unei soluții finale, fără echivoc, continuu și neted al ecuației Schrödinger pentru U = -kh2 / 2, t. E. Ecuația

O soluție exactă a ecuației (13.10) dă următoarea expresie pentru spectrul de valori posibile energetice oscilator:

Acest lucru arată că cea mai mică energie a oscilatorului nu este zero. Valoarea energiei oscilatorului la n = 0

Se numește „zero energie“.

particulă mecanică cuantică nu poate „minciună“ în partea de jos a potențialului bine parabolica, la fel cum nu se poate sta pe fundul unei dreptunghiulare, sau orice altă limbă a potențialului bine de lățime finită.

* Energia oscilatorului este proporțională cu afirmația. Prin urmare, nivelurile de energie sunt echidistante una față de cealaltă (echidistante).

Pentru a „se agită“ oscilator, trebuie să se adauge o energie egală cu diferența de energie între nivelurile adiacente. Schimbarea (de exemplu, creștere) energia oscilatorului corespunde tranziției între nivelele de energie En (indicate prin săgeți).

Fig. Funcții diagrame  undelor - 13.4, și. sunt soluții ale ecuației (13,10), pentru n = 0, 1, 2 și 6; de-a lungul intervalelor axa x egală cu de două ori amplitudinea oscilatorului clasic cu E egal En.

Fig. 13,4, a doua curbă solidă prezintă curbele de distribuție a densității de probabilitate |  (x) | 2 pentru același oscilator de stat cuantice, și o linie punctată - densitatea de probabilitate găsi oscilator clasic, în imediata apropiere a punctului x.

b
Fig. 13.4
Este evident că, la numere cuantice mici n-oscilator mecanic cuantic se comporta destul de diferit decât cel clasic. Șanse oscilator clasic este întotdeauna cel mai mare pentru punctele de cotitură, deoarece la aceste puncte, viteza este zero, iar probabilitatea pentru oscilatorul cuantică este maximă la punctele corespunzătoare „ventrele» -funcție.

Dar pentru mare n curba medie pentru distribuția densității probabilității oscilator-cuantică mecanică a unui acord bun cu curba pentru oscilator clasic.

Trebuie remarcat o altă caracteristică a oscilatorului-mecanice cuantice:

Funcția pătrat |  (x) | 2HE zero pentru puncte de întoarcere (adică în afara împiedicarea mișcării oscilator clasic ..).

^ 13.4 Efectul tunel

Dacă înălțimea găurii finale, apoi prin „estomparea“ a funcției de undă a particulei (vezi. Eg Fig. 13.4, b) există o nenulă probabilitatea ca o particulă poate fi localizată în afara de potențial.

Să considerăm potențialului bine prezentat în Fig. 13.5. Această imagine este diferită de Fig. 13.1 Faptul că zona în care energia potențială nu este zero, ocupă un interval îngust de la o la b

Regiunea și 5 N / m 2. Temperatura T0 = 273 K) Comportamentul real al majorității gazelor poate fi suficient de precis descrise de legea gazului ideal, dar compresiuni puternice dimensiune moleculară finită conduce la o deviere vizibilă a comportamentului gazelor reale de la ideal.
^ Ecuația fundamentală a teoriei moleculare cinetice a gazelor ideale
Luați în considerare cantitatea de gaz în vas ca un cub (fig. 1.1, a) și definește presiunea pe peretele său, de exemplu I. perete perpendicular pe axa x. În teoria cinetică a gazelor, se presupune că presiunea gazului din peretele vasului este creat prin ciocnirea elastică a moleculelor de gaz pe perete. Greutățile din toate moleculele sunt considerate identice și egale cu m0. Atunci când energia cinetică de impact elastic al moleculelor este menținută și, prin urmare, salvat, valoarea absolută a vitezei unei molecule înainte și după ce a lovit peretele. Când impactul elastic la un unghi față de suprafața peretelui (vezi. Fig. 1-1b) forța medie exercitată pe peretele de-a lungul axei z de multe coliziuni ale moleculelor este zero. De aceea transmisia impulsului molecula are loc numai în direcția axei x (normal pe perete). x modificări semneze (ris.1-1b) proiecție a impulsului pe axa.

Ni denotă numărul de molecule pe unitatea de volum, vitezele de proiecție sunt egale cu axa x ± υix. proiecție pozitivă corespunde unghiului ascuțit dintre vectorul viteză și direcția axei și negativă - (. vezi ris.1-1b) un unghi obtuz. Când numărul de mișcare aleatoare de molecule având proiecție atât pozitive, cât și negative pe această axă poate fi considerată ca fiind identică și egală cu Ni / 2. ca mișcarea în toate direcțiile cu probabilitate egală.

Dintre grupurile separate de molecule în timpul unui perete t interval de timp II cu numai acele molecule ajung în zona S, viteza care sunt îndreptate spre perete și care se află la o distanță de peretele care nu depășește υix t, sau acele molecule care sunt în sfera V = Sυix t. Apoi, numărul total de coliziuni de molecule conținute în volum V. perete în timpul t este:

Dacă molecula de a avea un impact asupra unui impuls de proiecție de perete pe axa x este egal PIN m0υix după acesta devine egal (-m0υix)). Modificarea unei molecule ki puls la lovirea peretelui moleculei este egală cu impulsul care se transmite la perete

Figura 1.1
Ca urmare a loviturilor toate moleculele care au viteza de proiecție υix. puls transmis de perete, va fi egal cu

Pentru a găsi schimbarea totală în impulsul tuturor moleculelor atunci când lovește peretele Kh în axa x. trebuie să însumați expresia (1.12) pentru toate valorile vitezele moleculelor, adică, toate υix:

Inmultiti și împărțiți în partea dreaptă a (1.13) pentru concentrația tuturor moleculelor din acest volum, care este notat cu n.

Valoarea pe partea dreapta este media aritmetică, sau pur și simplu valoarea medie a vitezei de proiecție pătrat υix. care va fi notat. Luând în considerare (1,14), expresia (1.13) ia forma:

Presiunea pe perete, în direcția axei x este egal cu:

Suma medie a vitezei pătrat de proiecție este egală cu pătratul media full-speed:

Substituind (1.19) în (1.18), obținem:

. (1.20)
Formula (1.20) determină valoarea presiunii gazului pe peretele vasului. Valoarea presiunii poate fi exprimată în termeni de energie cinetică medie per moleculă εk. Pentru aceasta se multiplică și se împarte la două pe partea dreaptă a (1.20):

în cazul în care :. Formula (1.21) se conectează presiunea gazului din energia cinetică medie a moleculelor unui gaz ideal. Această formulă se numește ecuația fundamentală a teoriei cinetice a gazelor.

Exemplul 1-1. Greutatea medie a energiei Calificarea moleculară și viteza în azot, în condiții normale.

Masa moleculei de azot poate fi determinată din relația (1.8):

La presiune normală p = 5 Oct. N / m 2 la 1 m 3 de gaz conținut n =
= 2.7 · 25 molecule octombrie (numărul Loschmidt). Conform (1.21), energia cinetică medie a moleculei este egală cu:

Viteza de deplasare moleculară poate fi estimată prin formula: