Sistemul și setul de ecuații 1

Să presupunem că avem două ecuații cu două necunoscute și în cazul în care - unele expresii cu variabile x și y. În cazul în care sarcina este de a găsi toate comune soluții pentru aceste ecuații, spunem că avem un sistem de ecuații:

Rezolva sistemul (15) - înseamnă a găsi toate perechile. care sunt soluția fiecărei ecuații, sau dovedesc că astfel de perechi de numere nu există.

În mod similar, vom defini conceptul de sistem cu trei sau mai multe necunoscute.

Sistemul, toate ecuațiile sunt omogene, numite ecuații omogene.

Sistemul se numește în comun. dacă are cel puțin o soluție, și inconsistente. În cazul în care nu există aceste soluții.

Două sisteme de ecuații sunt echivalente (echivalent), în cazul în care acestea au aceeași soluție, sau ambele nu au soluții.

Deasupra sistemului de ecuații se poate efectua următoarele acțiuni, transformarea sistemului într-un echivalent:

1) schimba ordinea ecuațiilor;

2) înmulțit cu un număr. orice ecuație;

3) pentru a se multiplica. un sistem de ecuații și adăugați-l la o altă ecuație.

Mai multe ecuații formează un set de ecuații. în cazul în care sarcina este de a găsi toate soluțiile care satisfac cel puțin un set de ecuație și intră în domeniul celorlalte ecuații.

Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute este după cum urmează:

Geometric, fiecare ecuație a sistemului (16) corespunde unei linii drepte în avion:

1) în cazul în care. sistemul (16) are o soluție unică (geometrically - linii se intersectează la un anumit punct);

2) în cazul în care. sistemul (16) nu are soluții (liniile sunt paralele);

3) în cazul în care. sistemul (16) are infinit mai multe soluții (directe și - același).

Metodele de bază pentru sisteme de ecuații (15) de rezolvare sunt:

1) metoda de substituție;

2) Metoda de eliminare necunoscută;

3) Metoda de adaos;

4) Metoda de multiplicare (diviziune) a ecuațiilor;

5) Metoda de înlocuire a variabilelor;

6) Metoda grafică.

Să ne rezolve metoda de adăugare. Pentru a face acest lucru, vom multiplica prima ecuație pe și se adaugă la a doua:

Sistemul reduce Având în vedere la setul soluție de sisteme:

Solutia sa este o pereche de numere; .

Înlocuiți în prima ecuație. atunci

Obținem o ecuație rațională:

Du-te înapoi la variabila x. în:

potrivit pentru DHS.

Acest sistem se referă la un sistem simetric (necunoscutele sunt aceleași). Soluția acestor sisteme produc o schimbare de variabile standard.

În continuare, vom folosi metoda plus:

Obținem rădăcinile ecuației pătratice:

Având în vedere (17) obținem:

Revenind la variabilele x. y. obține

Noi rezolva sistemul înregistrat separat:

Revenind la sistemul (18), obținem

și anume avem două soluții.

În ceea ce privește această din urmă ecuație pătratică. Sistemul (19) nu are nici o soluție.

Exemplul 4. Solve grafic:

1. Pe sensul geometric - ecuația unui cerc cu centrul și raza; - o linie paralelă cu axa și care trece prin punctul

Noi construim aceste linii (Fig. 1).

Diagramele au două puncte de intersecție, adică, Sistemul are două soluții, care se găsește din sistem (20):

2. Ecuația poate fi scrisă este ecuația hiperbolă.

Ecuația poate fi scrisă ca bisectoarea II și IV cadrane (Figura 2).

Diagramele nu au puncte de intersecție și, prin urmare, sistemul nu are soluții.

Sistemul cuprinde o ecuație omogenă.

Din moment ce obținem:

Din a doua ecuație găsim x:

Obținem o combinație de două sisteme:

Am venit în cont: și