Sistemul ortogonală funcții

Un sistem de funcții ortogonale, funcții de sistem n (x)>, n = 1, 2, ortogonal greutatea r (x) în intervalul [a, b], m. E., astfel încât

Exemple. Sistemul trigonometric 1, cosnx, păcatul nx; n = 1, 2. - set ortogonale de funcții cu greutatea 1 pe intervalul [- p. p]. Funcții Bessel, unde n = 1, 2. - zerouri pozitive J n (x), pentru fiecare formă n> - 1/2 funcții ale sistemului ortogonale cu x greutate în intervalul [0, l].

Dacă fiecare j funcție (x) al unui sistem ortogonal de funcții astfel încât (condiție de normalizare), atunci funcțiile sistemului se numește normalizat. Orice sistem ortogonal de funcții pot fi normalizate prin multiplicarea j (x) este numărul - factorul de normalizare.

Studiul sistematic al sistemului ortogonal de funcții a fost lansată în legătură cu metoda Fourier de rezolvare a problemelor la limita fizicii matematice. Această metodă conduce, de exemplu, pentru găsirea unor soluții Sturm - problema Liouville pentru ecuația [r (x) y ']' + q (x) y = l y, care îndeplinește condițiile la limită y (a) + HY „(a) = 0, y (b) + Hy „(b) = 0, unde H și h - constantă. Aceste soluții -. Sc. funcții proprii ale problemei - care formează un set de funcții ortogonale cu greutatea r (x) în intervalul [a, b].

O clasă extrem de importantă a sistemului ortogonal de funcții - polinoame ortogonale - a fost deschis P. L. Chebyshevym în studiile sale privind metoda de interpolare celor mai mici pătrate, și problema de momente. În secolul al 20-lea. cercetarea privind sistemele ortogonale de funcții efectuate în principal, pe baza teoriei integrale și măsura Lebesgue. Acest lucru a contribuit la alocarea acestor studii, o ramură independentă a matematicii. Una dintre principalele probleme ale teoriei sistemului ortogonal funktsiy- problema extinderii funcției f (x), în seria formei în care - sistem ortogonal de funcții în cazul în care a pus în mod oficial, în cazul în care - funcții de sistem ortogonale normalizate, și pentru a permite posibilitatea de integrare pe termen de termen. apoi multiplicând acest număr n j (x) r (x) și integrarea de la a la b, obținem: (*)

Coeficienții Cn. numite coeficienți Fourier în ceea ce privește sistemul de , au următoarea proprietate extremale: formă liniară aproximează cel mai bine această funcție, în medie. Cu alte cuvinte, eroarea medie pătrată cu greutatea r (x):

(*)

Ea are cea mai mică valoare în raport cu eroarea fiind la aceleași n alte expresii liniare ale formei. r Prin urmare, în special, se obține. N. Bessel inegalitate

Seria cu coeficienți Cn. calculat prin formula (*) se numește seria Fourier a lui f (x) a funcțiilor sistemului ortogonale normalizate . Pentru aplicații este întrebarea primordială se determină dacă funcția unică f (x), prin coeficienții Fourier. Sistemul ortogonală de funcții pentru care are loc, se numește complet, sau închise. Termenii sistemului de închidere a funcțiilor ortogonale pot fi date în mai multe forme echivalente. 1) Orice funcție continuă f (x) poate fi aproximată prin orice grad de precizie medie combinațiile liniare ale funcțiilor j k (x), adică, în acest caz, se spune că seria converge în medie la funcția f (x)]. 2) Pentru orice funcție f (x), al cărui pătrat integrabilă pe greutatea r (x), starea Lyapunov închisă - Steklov

3) Există o funcție nenul integrabilă pe intervalul [a, b] ortogonală pătrat pentru toate caracteristicile j n (x), n = 1, 2.

Dacă luăm în considerare funcțiile integrabile pătrate ca elemente ale spatiului Hilbert. normalizate funcțiile sistemului ortogonale sunt unitare vectori ai sistemului de coordonate al spațiului. și extinderea numărului funcțiilor sistemului ortogonale normalizat - extinderea vectorului vectorilor de bază. În această abordare, multe dintre conceptele teoriei sistemului ortogonală normalizat al funcțiilor dobândesc o semnificație geometrică clară. De exemplu, formula (*) indică faptul că vectorul proiecție pe versorul este egal cu vectorul produsului interior și versorul; ecuatia Lyapunov - Steklov poate fi interpretat ca teorema lui Pitagora pentru spațiu infinit: patratul lungimii vectorului este suma pătratelor proiecțiile pe axele; închiderea unui sistem ortogonal de funcții înseamnă că cea mai mică subspațiul închis. care cuprinde toți vectorii acestui sistem, întregul spațiu etc.

Lit. seria Tolstov G. P. Fourier, 2nd ed. M. 1960; Natanson I. P. Teoria constructivă a funcțiilor. M. - L. 1949; ei aceeași teorie a funcțiilor unei variabile reale, 2nd ed. M. 1957; seria D. Jackson Fourier și polinoame ortogonale, trans. din limba engleză. M. 1948 Kaczmarz S. Steinhaus, teoria seriilor ortogonale, trans. cu ea. M. 1958.

De asemenea, puteți afla despre.