Simetria topuri funcției

Conceptul de simetrie trece prin lunga istorie a creativității umane. De multe popoare din timpuri străvechi posedat noțiunea de simetrie, în sensul cel mai larg - ca echivalent al echilibrului și armoniei.

Forme de percepție și de exprimare în multe domenii ale științei și artei, în cele din urmă, pe baza simetriei utilizate și dezvoltate în termeni specifici, și mass-media se pun inerente în selectate domeniile științei și artelor.

Simetria (din symmetria greacă - „proporționalitate“) - un concept, ceea ce înseamnă magazin-emost, repetabilitate, „invarianta“ oricăror caracteristici structurale ale obiectului studiat în desfășurarea cu el o schimbare.

Într-adevăr, obiecte simetrice din jurul nostru literalmente din toate părțile, avem de-a face cu simetrie ori de câte ori există vreo regularitate. Simetria haosul anti-IT și tulburare. Se pare că simetria - este echilibru, ordine, frumusețe și perfecțiune.

Întreaga lume poate fi considerată ca o manifestare a unității de simetrie și asimetrie. Structura generală zecimală Asimmet poate fi o compoziție armonioasă a elementelor simetrice.

Simetria este diversă, este omniprezentă. Se creează frumusețe și armonie.

Ideea de simetrie este adesea punctul de plecare pentru ipotezele și teoriile de oameni de știință din secolele trecute, au crezut în armonia matematică a universului și a văzut în această armonie-manifestare a principiului divin. Vechii greci credeau că universul este simetric, pur și simplu pentru că simetria este perfectă. În reflecțiile sale despre imaginea universul unui om pentru o lungă perioadă de timp folosit în mod activ ideea de simetrie.

Pe baza unor considerente de simetrie, au făcut o serie de conjuncturi.

Deci, Pitagora (secolul al 5-lea î.Hr. E.), Având în vedere domeniul de aplicare a forma cea mai simetrică și perfectă, pentru a trage concluzii cu privire la sfericitatea Pământului și mișcarea sa pe teren. Cu toate acestea, el a crezut că pământul se mișcă în sfera unui „foc central“. În jurul același „foc“, potrivit lui Pitagora, a trebuit să se aplice bine-cunoscut în acele zile, șase planete, iar luna, soarele, stelele.

Utilizarea pe scară largă a ideii de simetrie, oamenii de știință iubit aplică nu numai la o formă sferică, dar, de asemenea, la poliedre convexe regulate. Chiar și în vremurile grecilor antici a fost instalat fapt uimitor - există doar cinci poliedre regulate convexe-ing de diferite forme. Simetria corpurilor geometrice atașat o mare importanță pentru greacă Cape-divizori epoca lui Pitagora. Ei au crezut că, pentru ca un organism să fie „NYM total simetrică“, trebuie să aibă un număr egal de chipuri găsite în colțuri, iar fețele ar trebui să fie poligoane regulate, adică cifrele cu laturile egale și unghiuri. Primul este urmat pitagoreici, aceste cinci poliedre regulate, ulterior, au fost avansate, dar descrisă de Platon. Filozoful antic grec Platon a subliniat poliedre NYM corectă, considerându-le să fie personificarea celor patru elemente naturale: focul tetraedru (partea de sus se confruntă întotdeauna în sus), sol-cub (corpul cel mai stabil), aer octaedru, apa-icosaedru (cel mai „katuchee“ organism ). Dodecaedru reprezentat ca imaginea întregului univers. Nume, dar poliedre regulate, astfel sunt, de asemenea, numite solide platonice.

Cele mai simple tipuri de simetrie spațială sunt de transfer central axial și rotativ oglindă simetrie.

Două puncte A și A sunt spus să fie simetrice în raport cu punctul O, dacă este O - punctul median al AA. Punctul O este considerat a fi simetrică față de ea însăși.

Punctul M este numit simetric punctul M în raport cu o linie dreaptă, ca și în cazul în care MMperpendikulyarna linie dreaptă și o MO = OM, unde G este punctul de intersecție al liniei MN și.

Cifrele de conversie F din figura F, în care fiecare punct devine punct simetric în raport cu o anumită linie, numită o transformare de simetrie în raport cu linia a. Direct și a numit axa de simetrie.

Dacă planul de transfer figura F de-a lungul unei linii drepte AB predeterminată și o figură la distanță (sau un multiplu al acestei valori) coincide cu sine, se spune despre simetria portabil. AB se numește axa de transfer direct, și la o distanță de transfer elementar sau perioadă.

1. Determinarea funcției y = f (x). apel x X. chiar dacă egalitatea f (-x) = f (x) pentru orice valoare a lui x din X.

Proprietatea 1. Graficul unei funcții chiar și simetrică față de axa y.

Dovada. Să presupunem că y = f (x) este o funcție chiar și atunci f (-x) = f (x). Să considerăm un punct arbitrar al graficului M (x; f (x)) și un punct M (- x; f (- x)). Deoarece funcția y = f (x) este chiar, atunci f (x) = f (-x) => coordonatele secunde ale punctelor M și M sunt egale. Puncte programul M și M sunt simetrice în raport cu Oy-TION. Deoarece M este un punct arbitrar al graficului, aceasta înseamnă că graficul unei funcții chiar și simetrică față de axa y.

2. Determinarea funcției y = f (x), x X, numit ciudat dacă egalitatea f (-x) = -f (x) pentru orice valoare a lui x din X.

Proprietatea 2. Graficul unei funcții impare este simetrică cu privire la originea.

Dovada. Să presupunem că y = f (x) este o funcție impar, atunci f (-x) = -f (x). Să considerăm un punct arbitrar-ing a graficului M (x; f (x)) și un punct M (- x; f (- x)). Deoarece funcția y = f (x) este impar, atunci f (x) = - f (x) => coordonatele secunde ale punctelor M și M sunt opuse. Puncte programul M și M sunt simetrice în raport cu originea. Deoarece M este un punct arbitrar al graficului, aceasta înseamnă că graficul unei funcții chiar și simetrică față de origine.

Luați în considerare desen a) y = x

Arătăm că axa y este axa de simetrie a graficului.

y (s) = (- a) = a, y (a) = a => y (a) = y (-a) => y = x - chiar funcția => axa y este axa de simetrie a graficului.

Să ne dovedesc că nici o altă linie nu va fi o axă de simetrie.

Să presupunem că o linie dreaptă x = x este axa de simetrie, atunci (x + a) = (x + a) = x + a + 2 XA

=> Y (x + a) y (x -a) => y (x -a) = (x + a) = x - 2 XA + o

⇨ linie dreaptă x = x nu este o axă de simetrie a graficului.

Arătăm că pentru un program dat de axa de simetrie va trece prin varful unei parabole (x; y) paralelă cu axa y.

Mai întâi ne Coordonata vârful parabolei poate fi calculat prin formula: x = -. Să considerăm un punct arbitrar al graficului M (x + y a (x + a)) și un punct M (x-a, y (x-a)).

Prin urmare, punctele M și M sunt simetrice în raport cu o linie care trece prin vârful parabolei y = ax + bx + c. În consecință, graficul acestei funcții este simetrică în raport cu linia x = -.

Vom dovedi că originea este un punct de simetrie a graficului.

y (-x) = (- x) = -x = y (x) => y x = function impar (opredelenie2) => centrul de simetrie al graficului este originea.

=> F (-x) = -f (x) => y = function impar (opredelenie2) => Centru f (-x) = - simetrie a graficului este de origine (dovada 2).

Definiție 3. Două puncte A și A se spune că sunt simetrice în raport cu punctul O, dacă este O punctul median al AA, t. E. AO = OA

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă.

1. Fiecare punct aparținând acestei linii, va fi un centru de simetrie, t. E. În acest grafic sunt infinit mai multe centre de simetrie.

Să considerăm un punct M (x, y). Fie M (x, y) este un punct grafic al acestei funcții este diferită de punctul M și punctul M astfel punct grafic care M = M M Apoi prima coordonată a unui punct M este egal cu 2 x x-. Pretindem că punctul M aparține graficul acestei funcții.

y = k (2 x- x) + b y = 2kx-kx + b y = 2k y = 2y-2b-y + b + b y = y

În consecință, punctul M aparține funcții grafice.

Axa de simetrie a acestui grafic ar fi o linie dreaptă paralelă cu axa y și trece printr-o anumită coordonate (x, 0), care aparține funcției graficului.

x) y = kx + b y (-x) = kx + b = kx + b = y (x) => Funcția y = kx + b este chiar. Deci, este simetrică față de axa y.

y (-x) = a (-x) + b│h│ + c = ax + b│h│ + c = y (x). => Axa Y este axa de simetrie a graficului.

In construirea acestui grafic, mai întâi vom construi un grafic y = ax + bx + c, apoi o porțiune a graficului obținut, care se află sub abscisa reflectă în mod simetric în jurul acestei axe. (1)

De asemenea, știm că, prin partea de sus a parabolei (x, y) se execută în linie dreaptă paralelă cu axa y, care este axa de simetrie a parabolei. (2)

Din proprietățile (1) și (2) rezultă că axa de simetrie a parabolei este axa acestui grafic.

În această lucrare funcțiile (inclusiv cele care conțin marca modul), care grafice au o axă de simetrie, și (sau) un centru de simetrie. Nu există-CAL trigonometrice că programul studiat mai târziu.