Selfadjoint (Hermitian) operatori și proprietățile lor
măsurate direct (the „observate“) sunt valori reale fizice, adică, toate valorile proprii -
1) în cazul în care un sistem fizic (particule) este într-o stare descrisă de propria funcție. atunci când este măsurată obține glicolnitrilului eigenvalue corespunzătoare;
2) în cazul în care sistemul (particule) este descrisă de o funcție arbitrară. atunci când sunt măsurate observabile, adică acțiunea operatorului. Obținem o combinație liniară a valorilor proprii Glicolonitrilul - o valoare medie, care este, de asemenea, reală.
Noi introducem conceptul de operator transpus. care se determină din relația
și anume transpune același efect, care acționează asupra funcției din stânga ca operator. Acționând dreapta.
Operatorii de autoadjunct sunt determinate prin următoarea ecuație
în cazul în care - operatorul conjugat la operator.
acest operator se numește Hermitian sau un operator autoadjunct. Putem spune că acțiunea operatorului de pe partea dreaptă a acestuia funcția coincide cu acțiunea operatorului complex conjugat pe funcția stângă:
Astfel, operatorul Adjoint - este un complex conjugat transpus operatorul de către operatorul
Luați în considerare operatorul diferențial. Presupunem că funcțiile de undă sunt zero la infinit. Calculăm operatorul Adjoint operatorului prin intermediul integrării prin părți:
Astfel, operatorul operatorul adjunct. este
și, prin urmare, operatorul nu yavlyaetsyaermitovym. Este evident că
operator de impuls - operatorul autoadjunct.
Operatorul coordonează, de asemenea, un operator Hermitian.
Luați în considerare ecuația și
Această ecuație înseamnă că valorile proprii ale unui operator Hermitian sunt reale.
Produsul a doi operatori Hermitian navetei are operatorul Hermitian
Să presupunem că avem un set discret de valori proprii și funcții proprii unui operator Hermitian (și cred că nu există nici o degenerării, adică toate funcțiile de undă sunt diferite pentru diferite valori proprii):
În matematică riguros demonstrat că setul de funcții proprii ale unui operator Hermitian formează un sistem complet de funcții de undă, adică ortonormate
De fapt, pentru a dovedi ortogonalitate ia în considerare două ecuații
Înmulțim prima ecuație din partea stângă. al doilea de. și să se integreze. Scăzând a doua ecuație din prima ecuație și având în vedere că (- operatorul Hermitian). obținem:
,
Rezultă că, dacă ln ¹ Lm. atunci. Integralitatea kit-ul înseamnă că orice funcție poate fi extins într-o serie de funcții.
În cazul în care avem degenerării, funcția de undă este luată ca o combinație liniară. în cazul în care toate funcțiile de undă au aceleași valori proprii. Combinațiile liniare pot fi realizate astfel încât noile funcții de undă sunt ortonormal.
Luați în considerare extinderea unei funcții arbitrare în serie în sistemul de funcții proprii operator liniar autoadjunct
Coeficienții de dilatare se pot obține prin înmulțirea ambele părți ale expresiei prin și să integreze:
Coeficientul de pătrat | | Acesta oferă probabilitatea ca starea descrisă. starea actuală de impurități.
Dacă avem o gamă continuă de valori, atunci funcția de undă pentru a descompune integralei
unde coeficienții sunt determinați
funcții continue de undă a spectrului sunt normalizate la d - funcția
Funcția este zero pretutindeni, cu excepția la punctul x = a. în cazul în care acesta devine infinit: