Reshenie uravneny numeric al doilea stepeni

ecuații pătratice.

§ 1. Reshenie uravneny numeric de-al doilea stepeni.

Uravneniem gradul II sau ecuație pătratică nazyvaetsya vsyakoe uravnenie, kotoroe posredstvom preobrazovany, zamenyayuschih alt său, îl sovmestnymi uravneniyami, mozhet fi privedeno forma ax 2 + bx + c = 0.

Poslednee uravnenie nazyvaetsya de b u m și cu vedere spre uravneny pătrat. Kolichestvo bine. b și c sunt numite ecuatia koeffitsientamn. Dacă aceste vyrazheny koeffitsienty kolichestvo fracționată, ei pot zamenit tselymi kolichestvo. Coeficientul poate fi considerat întotdeauna polozhitelnym. Dacă koeffitsient accidental cu zero sau b raven nulă, deci nazyvaemoe nepolnoe kvadratnoe ecuație poluchaetsya. Reshit kvadratnoe uravnenie înseamnă a găsi TE-valoare x pentru a desena dannoe uravaenie în tozhdestvo. De-valoare sau korney vsyakoe kvadratnoe uravnenie imeet doi.

Pentru resheniya nepolnogo uravneniya ax 2 + bx = 0 derivă suficient în prima parte a brackets plug-x. Obține x (ax + b) = 0. Din aceasta se poate observa că ecuație poate udovletvorit două moduri: fie punerea x = 0. otchego obraschaetsya zero, pervoy primul factor al ecuației, sau prin setarea x = - b / a. otchego dispare al doilea factor de multiplicare. În ambele cazuri, aceste proizvedenie Toți vor fi egală cu cea de a doua parte a uravneniya, și anume este zero, și sledovatelno, uravnenie va udovletvoreno.

Considerând vtoroe nepolnoe uravnenie ax 2 + c = 0. Distingem două sduchaya când koeffitsieyat cu otritsatelen și când polozhitelen. Să presupunem, de exemplu. având în vedere că uravnenie 4x 2 -7 = 0. Luând în considerare prima parte, diferența dintre pătratele, acesta poate fi extins în proizvedenie. Se obține (2x -√7) (2x + √7) = 0. Cu toate acestea, produsul poate fi zero doar atunci când unul dintre factorii este zero. Prin urmare, prezenta uravnenie sovme-schaet în sebe două rădăcini udovletvoryayuschie în afară două ecuații de gradul I -√7 = 0 2x și 2x + √7 = 0. Prin urmare rădăcinile sale sunt x1 = √ 7/2 și x2 = - √ 7/2

Să Teper că, având uravnenie 3x 2 + 10 = 0. Pervaya parte a cepului poate fi extins în proizvedenie de cantități imaginare. Deystvitelno deoarece i 2 = -1, este posibil să se scrie în dannoe RESIDENCE uravnenie 3x 2 - 10i 2 = 0. Posle aceasta, considerând prima parte, ca o diferență de pătrate, Imeem (√3 • x -√10 • i) (√3 • x + √10 • i) = 0. în cazul în care se vede că dannoe ecuație este descompus în două

și, prin urmare, oferă două rădăcini imaginare

Reshit nepolnye ecuații pătratice:

Soluție full pătrat uravleniya ax 2 + bx + c = 0 takzhe constă în extinderea primei părți pe multiplicatorii de plug. Acesta preobrazovavie uproschaetsya semnificativ este sluchae când coeficientul de cel mai înalt chlene o unitate. Zametim că vsyakoe kvadratnoe uravnenio poate fi redusă la o formă. Este necesar doar pe partea razdelit OBE koeffitsiept bine. Obține x 2 + b / ax + c / a = 0 De obicei notată b / a p literă și / q literă. cauzând pishetsya uravnenie în RESIDENCE x 2 + px + q = 0. Acest tip de privedennym ecuație nazyvaetsya. Incomod, cu toate acestea, astfel încât converti orice uravnenie la privedennomu minte, deoarece coeficienții poslednem p și q sunt adesea fracționată.

Luați în considerare tipurile particulare de ecuații cu coeficienți tselymi.

uravnenie Date fiind x 2 - 8x + 15 = 0. În porțiunea de colectare a pervoy nastoyaschago indică o metodă de descompunere a doua trinomials proizvedenie grade. Această metodă sleduet amintesc și primenyat, În cazul în care convenabil probleme, nizhesleduyuschih.

Dăm acum o altă metodă, înregistrată mai mult decât dificil, dar bolee de ansamblu constând trehlena preobrazovanii la pătrate diferență. Luând x 2 pentru pătrat și 8x pentru udvoennoe de lucru ușor videt că preobrazovyaniya x 2 - 8x pentru a finaliza pătrat înseamnă că trebuie să adăugați un al doilea pătrat există încă 16. Prin adăugarea acestui număr la prima parte a acestui uravneniya și zatem Zhe scăzând numărul de ei, imaginează-ți ecuatia RESIDENCE x 2 - 8x + 16-1 = 0 sau RESIDENCE (x - 4) 2 -1 = 0. Posle Pervaya această parte este ușor de descompus în produs, acesta a fost obținut (x - 3) (x - 5) = 0, și pentru a găsi cele două rădăcini ale ecuației
3 și x1 = x2 = 5.

Uneori, cum ar fi razlozhenie trinom necesită cantități vvedeniya imaginare. Astfel, în cazul dat uravlenie x 2 + 2x + 7 = 0. apoi convertirea primilor doi membri la forma unui pătrat plin, vom găsi x 2 + 2x + 1 + 6 = 0 sau (x + 1) 2 + 6 = 0. Dar, în prima parte se obține nu mai este o diferență și sumă. Am observat că i 2 = -1, scrie ecuația ca
(X + 1) 2 - 6i 2 = 0 apoi se descompune pentru a forma (1 + x 6 -√ • i) (x + 1 + √ 6 • i) = 0, și în cele din urmă locat-Dim două rădăcini imaginare x1 = -1 + √ 6 • i și x2 = -1 - √ 6 • i

În cazul în care un membru al factorului care conține x, în primul grad, există un număr impar, atunci acțiunea este complicată de faptul că, pentru a face o nevoie pătrat plin pentru a introduce un nou pătrat pe un număr fracționar. Ex. avem:

Rezolva ecuații pătratice complete:

Pe măsură ce trebuie să rezolve ecuații pătratice foarte des, stânjenitoare în fiecare caz, face transformările prin care ecuația de gradul doi este descompusă în două ecuații de gradul I. ecuații pătratice rezolvate prin formula generală. În cursul algebra se poate dovedi că, în cazul în care ecuația este de forma
ax 2 + bx + c = 0. rădăcinile sunt exprimate prin formula

. și anume rădăcină a ecuației pătratice este coeficientul mediu total luat cu semn opus, plus sau minus rădăcina pătrată a mediei pătratului diferenței dintre rata cvadruple și coeficienți extreme de produs, toate împărțit de două ori primul număr.

În plus față de această formulă este necesar să se cunoască mai simplă formulă care corespunde cazului în care raportul mediu este un număr par. Dacă ecuația are forma
αx 2 + 2βx + c = 0. atunci. și anume kvadratnago ecuație rădăcină cu coeficient mediu chiar egal cu jumătate din coeficientul mediu, luat cu semnul opus, plus sau minus rădăcina pătrată a pătratului diferenței dintre această jumătate și produsul coeficienților extreme, toate împărțit la primul factor.

În cele din urmă, un alt util pentru a nota cea mai simplă formulă care corespunde cazului în care primul coeficient este unitatea, iar media este un număr par. Dacă ecuația are forma x 2 + 2βx + c = 0. apoi x = -β ± √β2-uri. și anume rădăcină redusă a unei ecuații pătratice cu coeficient mediu chiar egal cu jumătate de-al doilea coeficient, luat cu semnul opus, plus sau minus rădăcina pătrată a pătratului diferenței între jumătate și un al treilea factor.

Fiecare dintre formulele de mai sus nu trebuie să exercite în primul rând ca transformarea ecuației la cea mai simplă formă în care toți coeficienții sunt numere întregi, iar primul coeficient este pozitiv. Trebuie amintit, în plus, că factorii sunt luate în considerare, împreună cu semnele lor.

Notă. Cursurile algebră au indicat o altă formulă. Dacă ecuația are forma
x 2 + px + q = 0.

Această formulă este total. deoarece fiecare ecuație trinom poate fi transformată într-o fantomă. Dar pentru a calcula korney formula menționată este incomod, deoarece duce la deystvie tselymi se ridică la deystviyu cu fracții.

Cu exercițiile inițiale polezno koeffitsienty a scrie semnele lor otdelno de litere oboznachayuschey neizvestnoe. Pentru prima sleduet exercițiu peredelat primery din nou 21 - 40, uzhe de mai sus.

Conversia la prosteyshemu uravneniya minte reshit: