Rangul matricei - rangul teorema matricei

Să considerăm matrice dreptunghiulară (4.1). Dacă această matrice aloca arbitrar rânduri k și k coloane, elementele care stau la intersecția rândului selectat și coloana formează o matrice pătrată de ordinul k. Determinantul acestei matrice se numește un ordin k minor al matricei A. Este evident că matricea A are minori orice ordine de la 1 până la cea mai mică dintre numerele m și n. Dintre toți minorii nenule ale matricei A, există cel puțin un minor, ordinea care va fi cel mai mare. Cel mai mare dintre ordinele minorilor matricei, diferite de zero, se numește rangul matricei. Dacă gradul de A este egal cu r, atunci acest lucru înseamnă că matricea A are un minor nenul de ordin r, dar fiecare minor de ordin mai mare decât r, este zero. Rangul matricei A este notat cu r (A). Este evident că relația

0 # 63; r (A) # 63; min (m, n).

Rangul matricei este fie minori de halo, sau prin transformări elementare. La calcularea rangul de prima metodă ar trebui să treacă de la ordinele inferioare minorilor minori de ordin superior. Dacă va fi găsit deja D ordin minor k al matricei A, un nenul, necesită apoi calcul numai minori (k + 1) Pentru D Minor fringing -lea, adică care îl conține, ca un minor. Dacă acestea sunt egale cu zero, atunci gradul egal cu k.

Elementar numit următoarea matrice de transformare:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane)

2) multiplicarea rând (sau coloana) la un număr de zero,

3) adăugarea unui rând (sau coloana) a unui alt rând (sau coloana) înmulțit cu un număr.

Două matrici sunt echivalente dacă unul se obține din celălalt printr-un set finit de transformări elementare.

matrici echivalente nu sunt, în general, egal, dar rândurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci este scris ca: A

matrice Canonical este o matrice în care la început

dintre care principale rând pe diagonală câteva unități (numărul

Acesta poate fi zero), și toate celelalte elemente sunt zero,

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane de orice matrice poate fi redusă la canonică. matrice canonică Locul este egal cu numărul de unități în principalele sale diagonală.

4. Matricea inversă

Să considerăm matricea pătrată

Notăm D = det A.

O matrice pătrată A se numește nedegenerat sau nesingular dacă determinantul său este diferit de zero și degenerate, sau mai ales în cazul în care D = 0.

In matricea pătrată se numește inversa unei matrice Un pătrat de același ordin, în cazul în care produsul A = B A = E, unde E - matricea identității de același ordin ca și matricea A și B.

Teorema. Pentru matricea A fost retroactivă, este necesar și suficient ca determinant sa fie diferit de zero.

Matricea inversă A, notată cu A-1, astfel încât B = A-1. Matricea inversă se calculează cu formula:

în cazul în care Aij - cofactori ale elementelor ij.

Calculul matricei inverse cu formula (4.5) pentru matricile de ordin superior este foarte dificil, astfel încât, în practică, este convenabil să se găsească o matrice inversă prin metoda transformărilor elementare (VC). Orice matrice A non-singular de EPO poate conduce doar la coloanele matricei de identitate (sau rânduri numai) E. Dacă comise deasupra matricei A VC în același mod ca cel aplicat unității matricei E, rezultatul va fi matricea inversă. Este convenabil să se efectueze EP pe matrici A și E, în același timp, înregistrarea matricei aproape deasupra liniei. Rețineți din nou că, atunci când găsirea forma canonică a matricei, în scopul de a găsi rangul ei pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă doriți să găsiți inversa unei matrice, numai rânduri sau numai coloanele care urmează să fie utilizate în procesul de transformare.

Fiind dată o matrice

având n rânduri și m coloane. Coloanele matricei reprezintă un sistem de vectori n-dimensionale m. Rangul acestui sistem de vectori este numit rangul matricei.

Am ales o matrice (1) sunt rânduri k arbitrare și numărul de coloane. Este firesc să presupunem că. Determinantul matricei, la intersecția rândului selectat și coloana va fi numit minor de ordinul k al matricei A.

Evident, în cazul în care toți minorii de ordinul k al matricei A sunt egale cu zero, și toți minorii de ordin superior vor fi zero. Acest lucru rezultă direct din determinant al liniei de expansiune.