rădăcinile raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi

Problema găsirii f (x) rădăcini raționale polinomiale

Q [x] (cu coeficienți raționali) se reduce la găsirea rădăcinilor polinoamelor raționale k ∙ f (x)Z [x] (cu coeficienți întregi). Aici, numărul k este cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților polinomului.

condiții suficiente necesare, dar nu și pentru existența unor rădăcini raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi date de următoarea teoremă.

Teorema 6.1 (pe rădăcinile raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi) .Dacă

mnogochlenaf rădăcină rațională (x) = anxn ++ ... + a1x + a0stselymikoeffitsientami, în care (p, q) = 1, numărătorul termen constant divizor a0 drobipyavlyaetsya și znamenatelqyavlyaetsya divizor de conducere coeficient a0.

teorema 6.2.Esli

Q (unde (p. Q) = 1) este o rădăcină rațională mnogochlenaf (x), cu coeficienți întregi,sunt numere întregi.

Exemplu. Găsește toate rădăcinile raționale ale polinomului

1. Prin Teorema 6.1: dacă

- rădăcină rațională a f polinomului (x), (unde (p, q) = 1), apoi a0 = 1 p, o = 6 q. De aceea p 1>, q, mijloace

.

2. Este cunoscut faptul că (corolarul 5.3), numărul a este o rădăcină a f polinomului (x) dacă și numai dacă f (x) este împărțit la (x - a).

Prin urmare, pentru a verifica dacă numerele 1 și -1 rădăcinile f polinomului (x) se poate utiliza schema Horner:

Primit: q (

) = 0, adică,- korenq (x) și, prin urmare, - korenf (x). Astfel, f polinomul (x) are două rădăcină rațională: și.

Scutirea de iraționalitate algebrică numitorul fracției

Cursul școlar pentru rezolvarea anumitor tipuri de probleme pentru eliberarea iraționalității în numitorul fracției este suficientă pentru a se multiplica numărătorul și numitorul de numărul de numitor conjugat.

Aici, la numitorul formulei este activat multiplicare Acronim (diferența dintre pătrate), care permite libera a iraționalitate la numitor.

2. A scăpa de iraționalitate în numitorul fracției

t =

. Expresia - partea pătrată a diferenței de numere = și b = 1. Folosind formula Acronim multiplicare-a3 b3 = (a + b) · (a2-ab + b2), se poate determina factorul de m = (a + b) = + 1, care ar trebui să multiplice numărătorul și numitorul drobit. pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul fracției t. Astfel,

În situațiile în care formulele de multiplicare prescurtate nu funcționează, puteți utiliza alte tehnici. Mai jos formulăm o teorema, dovada care, în special, permite algoritmul pentru a găsi de relief de la iraționalitatea în numitorul fracției în situații mai complexe.

Definiția 6.1. Numărul z se numește algebric peste polemF. dacă există un polinom f (x)

F [x], a cărui rădăcină este z. în caz contrar, numărul z se numește transcendentală peste polemF.

Determinarea 6.2.Stepenyu algebric peste polemFchislaz numit gradul polinomului ireductibilă peste câmpul F p (x)

F [x], a cărui rădăcină este numărul z.

Exemplu. Arătăm că numărul z =

Este algebrică peste polemQ și de a găsi nivelul său.

Am găsit un polinom ireductibil deasupra p câmpul Q (x), a cărei rădăcină este x =

. Ridicați ambele părți ravenstvax = a patra putere sau poluchimh4 X4- = 2 2 = 0. Astfel, p (x) = X4- 2 și z este egală cu o putere de DegP (x) = 4.

Teorema 6.3 (eliberarea unui iraționalitate algebric la numitor) numarul algebrică .Pustz- peste polemFstepenin. Expresia vidat =

,unde F (x), (X)F [x], (Z)0

Acesta poate fi reprezentat în mod unic în forma:

t = cn-1zn-1 + cn-2zn-2 + ... + C1z + c0. CI

F.

Eliberarea algoritmului iraționalității va demonstra un exemplu specific în numitor.

Exemplu. Gratuit de la iraționalitatea la numitor:

1. numitorul fracției este valoarea polinomului

(X) = x 2 - x 1 x = . Exemplul anterior a demonstrat că- polemQ peste un număr algebric grad 4, deoarece este o rădăcină a unui polinom ireductibil peste Q p (x) = 2 X4-.

2. Găsiți extinderea liniară a GCD (

(X), p (x)) folosind algoritmul euclidian.

-x-2 -

x - = Q3 (x)

Deci, GCD (

(X), p (x)) = = 7. R2 găsim expansiunea liniară.

Scriem secventa Euclid, folosind notația de polinoame.

p (x) =

(X) · q1 (x) + r1 (x)r1 (x) = p (x) - (X) · q1 (x)

(X) = r1 (x) · q2 (x) + r2 (x) r2 (x) = (X) - r1 (x) · q2 (x)

Substituind în ecuația 7 = r2 (x) =

(X) - r1 (x) · q2 (x) r1 valoare reziduu (x) = p (x) - (X) · q1 (x), obținem transformare liniară după GCD descompunere ((X), p (x)): 7 = p (x) · (- q2 (x)) + (X) · [1 + q1 (x) · q2 (x)]. Dacă înlocuim în ultima egalitate în locul simbolurilor polinoame corespunzătoare și să ia în considerare faptul că p () = 0, avem:

(1 -

+) · (-+ 2+ 3+ 1)] = 7 (1)

3. Din ecuația (1) implică faptul că dacă numitorul înmulțit cu numărul de t m = [1 + (-

+ 2+ 3+ 1)], obținem 7. Astfel,

METODOLOGIE 16. Lecția Subiect: Vizualizare standard polinomul

Tipul lecției: o verificare lecție și controlul de cunoștințe și abilități

- verifica abilitățile polinomiali duce la formularul standard

- să dezvolte gândirea logică, atenția elevilor

1. Completați propozițiile:

a) expresie, care cuprinde o sumă de monoamele menționate ... (polinomial).

b) un polinom constând din monoamele standard și care nu conțin astfel de termeni se numește ... (polinomială standard).

c) cel mai înalt grad de monoamele care intră într-un polinom se numește formularul standard ... (gradul de polinomului).

g) Înainte de a determina gradul de necesitate ... (să-l aducă la un formular standard).

d) Pentru a determina valoarea nevoii polinom de a face mai întâi ... (ne imaginăm un polinom în formă standard), a doua ... (valoarea insert a variabilei în expresie).

2. Găsiți valoarea unui polinom:

3. Adu-un polinom la formularul standard de:

4. Adu-un polinom la formularul standard si afla pentru ce valori ale lui x valoarea este de 1: