operatorii hermitian

Fie M și N - seturi liniare. Operatorul L, convertește elementele M elemente din setul N, se numește liniar dacă pentru orice elemente f și g numere complexe M și # 955; și # 956; egalitate

Mulțimea M = ML, numit domeniul operatorului L. Dacă Lf = f f Je pentru toate M, operatorul L se numește identitate (unitate) operator. Un singur operator va fi notat cu I.

Fie L - operator liniar cu domeniul ML. ecuație

Aceasta se numește o ecuație liniară neomogen. În ecuația (2) element dat F este un termen liber (sau pe partea dreaptă) și un element necunoscut și al ML - soluție a acestei ecuații.

Dacă ecuația (2) F termenul constant setat egal cu zero, atunci ecuația rezultată

numita ecuație liniară omogenă care corespunde ecuației (2).

Datorită liniaritatea operatorului L populație omogenă de soluții ale ecuației (3) formează un set liniar; în particular, și = 0 este întotdeauna o soluție la această ecuație.

Fiecare soluție a ecuației liniare neomogene (2) (dacă există) este suma unei anumite soluții UQ a ​​acestei ecuații și soluția generală # 365;, corespunzător ecuației omogene liniare (3)

De aici derivă direct: La o soluție de (2) a fost singurul ML, este necesar și suficient ca ecuația omogenă corespunzătoare (3) are numai soluția banală în ML. Lăsați ecuația omogenă (3) are numai soluția zero în ML. RL denota gama operatorului L, adică, (Linear) set de elemente de forma f>, în care f variază ML. Apoi, pentru orice ecuație F Je Rj (2) are o soluție unică și Je ML, și, astfel, există un operator care se asociază cu fiecare element al F Rj soluție a ecuației (2) corespunzătoare. Acest operator se numește un operator invers este notat cu L și L -1. astfel încât

Operator L -1. în mod evident, este liniară și reprezintă Rj pe ML. Direct din definiția L-1 și de la ecuațiile (2) și (4) rezultă:

Dacă L este un operator liniar L- 1. inversa funcțiile sistemului # 966; k> și L # 966; k> la un moment dat sunt liniar independente. (Aceasta, desigur, se presupune că toate # 966; k aparțin ML).

Să considerăm o ecuație omogenă liniară

unde # 955; - un parametru complex. Această ecuație are o soluție zero pentru toți # 955;. Se poate întâmpla ca, în unele # 955; are soluții nenule ale ML. Aceste valori complexe # 955;, pentru care ecuația (5) are soluții nenule ale ML, numite autovalorile L, precum și soluțiile corespunzătoare - elemente proprii (funcții) corespunzătoare acestei eigenvalue. Numărul total al r. 1 ≤r≤∞. Elementele Vectorii proprii liniar independente corespunzătoare acestei eigenvalue # 955;, se numește multitudinea de auto-importanță; dacă multiplicitate r = 1, atunci # 955; Se numește eigenvalue simplu.

În cazul în care multiplicitatea r valori proprii # 955; L este finit și u1. u2 - corespunzătoare elemente proprii liniar independente, atunci orice combinație liniară

De asemenea, un element eigenvalue corespunzător acestei eigenvalue și formula de mai sus dă soluția generală a ecuației (5). Rezultă că, dacă soluția ecuației

există, soluția generală reprezentată prin formula

unde u * - soluția special (6) și ck. k = l, 2. r, - constante arbitrare.

Operatorul liniar L, transformă ML Cl2 (G) în L2 (G), denumit Hermitian dacă domeniul său ML dens în L2 (G) pentru orice f și g de egalitate Ml

Expresiile (Lf, g) și (Lf, f), respectiv numite biliniară și forme pătratice generate de un operator L.

Un Hermitian operatorul L liniar era necesar și suficient ca le-a generat formă pătratică (Lf, f), f Je Ml, Ml unde dens în L2 (G), luând numai valori reale.

În special, orice operator Hermitian pozitiv.

Teorema. Dacă operatorLermitov (pozitiv), atunci toate valorile proprii sale sunt reale (non-negativ), iar funcțiile proprii corespunzătoare diferitelor valori proprii sunt ortogonale.

Dovada. lăsa # 955; 0 - valoare proprie, u0 - corespunzător normalizat eigenfunction al Hermitian operatorului L, LU0 = # 955; 0u0. Luând produsul scalar este egal cu u0, obținem

Dar pentru Hermitian (pozitiv) forma pătratică (Lf, f) operatorul are o valoare reală doar (non-negativ) și, prin urmare, de (7) # 955; 0 - un număr real (non-negativ).

Demonstrăm că orice funcții personalizate I1 și I2, corespunzând la diferite valori proprii # 955; 1 și # 955; 2, ortogonală. Într-adevăr, din relațiile

pragului de semnificație # 955; 1 și # 955; 2 și a Hermitian operatorului L obținem un lanț de ecuații

Să presupunem că setul de valori proprii ale unui operator L Hermitian nu este mai mult decât numărabil și fiecare valoare proprie de multiplicitate finit. Enumerăm toate valorile proprii ale sale: # 955; 1, # 955; 2. repeta # 955; k ori de câte ori multiplicitatea. Corespunzătoare functiilor proprii este notat cu I1, I2, ... astfel încât fiecare eigenvalue corespunde un singur eigenfunction ik:

Valorile proprii corespunzătoare aceleiași eigenvalue, puteți alege ortonormală folosind procesul de ortogonalizarea Schmidt. Fiecare sistem ortonormală # 966; k> este format din funcții liniar independente. fiecare sistem # 968; 1, # 968; 2. funcții liniar independente L2 (G) este transformată într-un sistem ortonormală # 966; 1, # 966; 2. - procesul de ortogonalizare Schmidt dupa cum urmeaza:

În acest caz, din nou, acesta devine propria funcție, care corespunde aceluiași valorii proprii. Potrivit pentru a demonstra teorema funcția lor, care corespund diferitelor valori proprii sunt ortogonale.

Astfel, în cazul în care sistemul de funcții proprii pentru Marea Britanie> Hermitian operatorul L este nu mai mult de ortonormal˘a numărabilă, atunci acesta poate fi ales:

2. Vladimirov V. S. Ecuațiile fizicii matematice. - Ed. 5-a. - M. Știință 1985.