Metode de constatare a matricelor inverse folosind -zhordana Gauss

Continuând să ia în considerare modalități de a găsi matricelor inverse. Într-un blog anterior am fost considerat prima metodă: utilizând o matrice de cofactori. Acum, ia în considerare a doua metodă: folosind metoda -Zhordana Gauss.

Algoritmul pentru gasirea matricei inverse
prin metoda lui Gauss-Jordan.

Pentru a găsi matricea inversă va fi utilizată zlementarnye matrice de transformare. Foarte adesea, această metodă este mai eficientă (mai puțin intensiv forța de muncă), comparativ cu prima metodă (folosind adăugări algebrice matrice).

Esența algoritmului pentru găsirea matritsys inverse prin metoda de eliminare Gauss-Jordan.:

1. Se aduce matrice bloc \ (A | E \), atribuirea către matricea dat \ (A \) unitate matricea dreptul de același ordin.

2. Folosind transformările elementare, pâslă este peste rândurile matricei \ ((A | E) \) da partea stângă la cea mai simplă formă $$ \ stânga (\ beginE 0 \\ 0 0 \ end \ dreapta) $$ Această matrice bloc pentru a forma \ ((\ lambda | S) \), în cazul în care \ (S \) - pătrat poluchennnaya matrice rezultată din conversia matricei de identitate \ (E \).

3. Dacă \ (\ lambda = E \), atunci blocul \ (S = A ^ \), în cazul în care \ (\ lambda \ ne E \), atunci matricea \ (A \) - nu invers, adică l degenera.

Luați în considerare exemplu algoritmul:

Dana matrice $$ A = \ stânga (\ begin5 8 1 \\ 2 3 2 \\ 1 2 3 \ end \ dreapta) $$ Găsiți matricea inversă.

Decizie. Ne desfasuram activitatea conform algoritmului descris.

1. Se realizează o matrice bloc $$ (A | E) = \ stânga (\ begin5 8 1 \\ 2 3 2 \\ 1 2 3 \ end \ left | \ begin1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end \ dreapta. \ Dreapta) $$
2. Transformările elementare pe linia le cauzează mai simplă forma \ ei ((E | A ^) \)
Conform metodei lui Gauss-Jordan trebuie să alegem principalul element de - elementul să fie în prima linie - \ (a_ = 5 \). Trebuie să fie egal cu \ (a_ = 1 \). Acest lucru poate fi prima linie împărțit în 5, dar se va transforma membrii fracționare, și este un pic inconfortabil în calcule, astfel încât să se obțină \ (a_ = 1 \) care fac transformări elementare:
Înmulțiți a treia storoku 4 și scade din prima $$ \ stânga (\ begin1 0 -11 \\ 2 3 2 \\ 1 2 3 \ end \ left | \ begin1 0 -4 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end \ dreapta. \ Dreapta) $$
Inmultiti prima storoku de 2 și scade din stânga al doilea din $$ \ (\ begin1 0 -11 \\ 0 3 24 \\ 1 2 3 \ end \ left | \ begin1 0 \\ -4 -2 1 8 \\ 0 0 1 \ end \ dreapta. \ Dreapta) $$
Scădeți primul din al treilea storoku $$ \ left (\ begin1 0 -11 \\ 0 3 24 \\ 0 2 14 \ end \ left | \ begin1 0 \\ -4 -2 1 8 \\ -1 0 5 \ end \ dreapta. \ Dreapta) $$
Acum, elementul de conducere este \ (a_ = 3 \). Pentru comoditatea calculelor trebuie sa \ (a_ = 1 \), pentru a scădea această din rândul al doilea al primului $$ \ stânga (\ begin1 0 -11 \\ 0 1 10 \\ 0 2 14 \ end \ left | \ begin1 0 \\ -4 -1 1 3 \\ -1 0 5 \ end \ dreapta. \ Dreapta) $$
Inmultind doilea șir de 2 și scade al treilea rând de $$ \ stânga (\ begin1 0 -11 \\ 0 1 10 \\ 0 0 -6 \ end \ left | \ begin1 0 \\ -4 -1 1 3 \\ 1 -2 -1 \ end \ dreapta. \ Dreapta) $$
Și acum trage tezhe de conversie, dar numai de jos în sus, dar mai întâi este necesar să se \ (a_ = 1 \), pentru această secțiune este întregul șir -6 obține $$ \ left (\ begin1 0 -11 \\ 0 1 10 \\\\ 0 0 1 \ end \ left | \ begin1 0 \\ -4 -1 1 3 \\ - \ frac \ frac \ Frac \ final \ dreapta. \ Dreapta) $$
Al treilea rând se înmulțește cu 10 și scade din a doua $$ \ stânga (\ begin1 0 -11 \\\\ 0 1 \\\\ 0 0 0 1 \ end \ left | \ begin1 0 -4 \\ \ frac - \ frac \ Frac \\ - \ frac \ frac \ Frac \ final \ dreapta. \ Dreapta) $$
Ei bine, ultima transformare elementară - umnozhm a treia linie 11 și adăugați-l la primul rând de $$ \ left (\ begin1 0 \\\\ 0 0 1 \\\\ 0 0 0 1 \ end \ left | \ begin- \ frac \ frac - \ frac \\ \ frac - \ frac \ Frac \\ - \ frac \ frac \ Frac \ final \ dreapta. \ Dreapta) $$ Partea stângă a matricei bloc avem matricea de identitate, atunci dreapta va fi matricea inversă.

Algoritmul pentru gasirea matricei inverse a matricei prin cofactori.