metode de aproximare polinomiali - studopediya

În metodele de căutare directă, am avut nici o informație despre funcția care urmează să fie reduse la minimum, cu excepția valorilor sale la punctele și ipotezele care le-am ales că este continuă și este o funcție unimodală pe segmentul. Dacă o funcție într-un cartier de minimum se poate înlocuit cu acuratețe (aproximat) printr-un polinom, atunci trebuie utilizat pentru a minimiza așa-numitele metode de aproximare polinomial. Caracteristica lor comună este de a calcula din valorile cunoscute ale coeficienților unei funcții la anumite momente și apoi găsirea minimul acestui polinom cu condițiile necesare și suficiente pentru un extremum. Restrangem metoda de analiză a aproximării pătratice funcție minimizate f (x), în care graficul acestei funcții se înlocuiește aproximativ parabolică care trece prin cele trei puncte cunoscute [x i. fi), i = 1, 2, 3, unde fi = f (xi).

... se știe că trei puncte diferite, care nu se află pe o linie dreaptă, puteți desena un singur parabolei y = ax 2 + b x + c. pe ≠ 0. coeficienții a. b. c satisfac sistemul de ecuații algebrice liniare (SLAE)

Determinantul acestei SLAE

este un determinant Vandermonde este nenul și când x este 1, x 2, x 3poparno diferit. În acest caz, Slough are o soluție, care este unic. Acesta poate fi scris sub forma

În cazul în care expresiile pentru coeficienții a și b sunt substituite în stare y „necesară = 2ax + b = 0 extreme ale unei funcții, vom obține-i un punct de staționare unic

unde sij = xj XI. i. j = 1, 2, 3. Deoarece „= 2a = const. în momentul în care a> 0, avem minimul funcției y (x), și la <0 — максимум.

Dacă știți segmentul pe care funcția să fie redusă la minimum este unimodală, atunci nu este necesar să se calculeze valoarea coeficientului a. Este suficient să adopte ca segmentul de segment din [x 1, x 3], iar punctul x 2∈ (x 1, x 3) arbitrar ales în intervalul (x 1, x 3). În acest caz, avem f 1≥ f 2 și f 3≥ f 2, în cazul în care

În prima etapă a metodei folosind aproximarea pătratice (2.18) se calculează și apoi calculele pentru a doua etapă a celor patru puncte și xi. i = 1, 2, 3, selectarea noilor trei puncte de următoarea regulă:

Mai mult, de la (2.18) și apoi găsirea procedeul de mai sus se repetă în a treia etapă, și așa mai departe, atâta timp cât lungimea intervalului de incertitudine. care este garantat de a fi punctul dorit funcția x * minim f (x), este mai mică decât o valoare maximă prestabilită admisibilă # 949; *. Rețineți că confirmarea apropierea punctului x * și acuratețea calculelor pot servi pentru a scădea valoarea funcției y (x), în punctul a constatat, în comparație cu valoarea în etapa anterioară.

Exemplul 2.5. Aplicam modificarea descrisă a metodei de constatare apropierea pătratic funcției minimă

în intervalul [2, 8]. Graficul acestei funcții este prezentată în Fig. 2.12. procesul de iterare se termină atunci când lungimea intervalului de incertitudine nu va depăși 0,15. În prima etapă a alege rezultatele calculelor cu privire la (2.19) sunt prezentate în Tabelul. 2.6.

După efectuarea a cincea etapă, concluzionăm că funcția x * minim f (x) este în intervalul (2.949, 3.076) 0.127 lungime. Valoarea exactă a x = 3 corespunde valorii minime a f (x *) = 0.