Metoda planului fazei
Să presupunem că mișcarea sistemului neliniar descris de ecuatii diferentiale neliniare de ordinul doi
în cazul în care timpul nu este inclus în mod explicit. Punctul de avion. unde laturile mâna dreaptă de ecuații (1.1) devin nulă, adică . . Ei au numit puncte singulare. Coordonatele și numite coordonate de fază. fiecare punct de timp ce corespunde unei valori de coordonate. . reprezentate pe un punct plan de fază (punct reprezentativ). Mișcarea punctului reprezentativ în planul de fază trage o linie, numită traiectoria de fază. Cea mai comună metodă de scanare a imaginii prin care se folosesc cele două variabile de fază:
Koordinata și rata de schimbare.
Ecuațiile (1.1) ia forma
Impartirea a doua ecuație mai întâi prin obținerea ecuației diferențiale a curbei integrale pe planul fazelor
Soluția acestei ecuații dă curbe ecuație coincide cu traiectorii de fază (faza de portret).
Traiectoriile de fază pentru un sistem (1.2) are următoarele caracteristici:
1 °. Dacă funcția este definită și continuu, are derivați de continue în ceea ce privește argumentele, apoi prin orice punct al planului de fază, cu excepția echilibrelor (puncte singulare) în care. . trece doar curba integrală, adică traiectorii de fază se intersectează în punctele nesingulare
2 °. În partea superioară a imaginii jumătate de punct se deplasează de-a lungul traiectoriei de fază de la stânga la dreapta, deoarece coordonatei poate crește numai. Dacă mișcarea este de la dreapta la stânga (fig. 1.10).
3 °. La puncte. traiectorii de fază intersectează axa abscisei la unghiuri drepte, din moment ce tangenta la traiectoria de fază la aceste puncte.
plan de fază Metoda rezumate în manual [10], care arată clasificarea punctelor singulare ale liniare (liniarizat) sisteme.
1.3. Metoda de coasere.
Metoda „coasere“ (sau „reticulare“) din condițiile limită este o metodă detaliată de construire a portretelor de fază în sistemele-liniare pe porțiuni. Avionul de fază este împărțită în regiuni, fiecare dintre care ecuația (1.2) devin liniare. soluții în fiecare dintre zonele selectate ale ecuațiilor respective sunt integrate, sunt scrise sunt construite traiectorii de fază în fiecare regiune, care sunt „capsate“ pe liniile care separă aceste zone ( „linii în schimburi“), astfel încât valorile finale ale variabilelor din domeniul anterior sunt valorile inițiale ale acestor variabile într-un domeniu ulterior.
Exemplul 1.1. Utilizați metoda de coasere pentru construirea portretului de fază a pistoalelor neliniare autopropulsate de tipul prezentat în fig. 1.11, în cazul în care partea liniară a unui model liniarizate al unui motor de curent continuu cu excitație separată și elementul neliniar simulează un amplificator de releu.
Ecuațiile diferențiale corespunzătoare închise ACS pot fi scrise după cum urmează
Avionul de fază este împărțită în două zone:
FIELD I .. ; Ecuatii diferentiale:
Regiunea II. . ; Ecuatii diferentiale:
Se efectuează construcția de traiectorii de fază în zona I:
Integrarea acestei ecuații cu condițiile inițiale
Noi facem schimbarea. . prin care
În cele din urmă, obținem ecuația
care corespunde familiei traiectoriilor de fază (Fig. 1.12), în cazul în care, la. Atunci când această porțiune este porțiune mai mare magnitudine. care rezultă din ecuația (1.7). De fapt, atunci când. . . Avem.
iar următoarea familie de traiectorii de fază prezentat în Fig. 1.13.
Potrivirea traiectoriile de fază pe linia de comutare. Obținem portretul de fază (ris.1.14). Fig. 1.14
Noi rezolva în continuare aceeași problemă pentru cazul neliniarității, cum ar fi „releu cu o zonă moartă.“ Având în vedere că. obținem:
În faza de plan a evidenția trei domenii:
ACS ecuație închisă în regiunile I și II coincid cu ecuațiile din cazul anterior ( „comutator ideal“).
In regiunea III, obținem ecuația
care corespunde traiectoriilor de fază în formă de linii drepte.
Potrivirea traiectorii de fază pentru comutarea liniilor. . construi fază portret neliniar SAU (ris.1.15).
După contactul cu punctul reprezentativ pe intervalul de repaus. ACS se oprește mișcarea.
În mod similar, puteți construi portrete de fază cu alte tipuri de neliniaritati prezentate în Fig. 1,1-1,8.
. A se vedea literatură: [2 s.9-19; 3, s.481-489; 4, s.13-38; 5, s.414-420; 10, s.48-53].
Testați-vă cunoștințele
1. Care este planul de fază?
2. Ce variabile sunt utile pentru construirea de traiectorii de fază?
3. Deoarece planul fazelor este împărțit în regiuni în aplicarea metodei de coasere?
4. Cum de a alege condițiile inițiale în zone izolate, atunci când se aplică metoda de coasere?
1.4. Metoda de liniarizare armonic
Această metodă aproximativă de investigare a mișcărilor periodice (oscilații) în neliniar constând dintr SAU un element neliniar și o porțiune liniară (fig. 1.16).
Elementul neliniar descris de ecuația și poate fi o neliniaritate tipic prezentat în Fig. 1,2-1,8.
Partea liniară a funcției de transfer este descrisă de ACS
Într-o astfel NUAU, pot apărea în timpul mișcărilor periodice stabile (oscilații) la ieșirea porțiunilor liniare care sunt apropiate de sinusoidală, adică . în cazul în care - amplitudinea - frecvența oscilațiilor (parametrii de auto-oscilatie). Un astfel de proces dinamic, datorită faptului că partea liniară are o proprietate de filtru low-pass care transmite fără atenuând primul (fundamental) armonic și substanțial atenuant componentelor armonice superioare.
„Ipoteza unui filtru“ sunt prevăzute, în ceea ce privește NUAU, este baza metodei de liniarizare armonice. Starea de filtru trece-jos poate fi scris sub formă de inegalitate
pentru valori. ceea ce corespunde la o slăbire semnificativă a armonicelor superioare.
Lăsați semnalul de intrare la NUAU deconectat, adică . Semnalul de intrare intră în elementul neliniar. Semnalul de la ieșirea unui element neliniar, care este o funcție periodică, vom extinde în serie Fourier
Pentru simetrice auto-oscilații ale componentei de curent continuu este absent, și anume . care apare la caracteristicile neliniare simetrice care trec prin origine (de exemplu, în Fig. 1,1-1,3, 1,5, 1,6).
Luând în considerare în continuare doar auto-oscilații și neglijare în simetrice (1.13), armonici superioare, obținem expresia aproximativă
În cazul în care neliniaritatea descrie funcții impare clare, fie.
în final, obținem de la (1.15)
în cazul în care. - coeficienții de liniarizare armonice.