matrice elementară

Noi introducem conceptul de rang matrice. Selectați în -Row matrice și coloane ar, în care - un număr mai mic sau egal cu cel mai mic dintre numere și. Determinantul de ordine. compus din elemente care stau în intersecția -Row și coloanele selectate ar numit un minor sau determinant. matricea generată.

Rangul matricei (indicată) este cel mai înalt ordin al determinanților generate de aceasta, diferite de zero.

rangul nu se va schimba în cazul în care:

1) interschimba oricare două rânduri paralele;

2) înmulțit (împărțit) fiecare element al unei serii de unul și același factor (divizor);

3) se adaugă la numărul de elemente care corespund elementelor oricărui alt rând paralel multiplicată cu același factor;

4) Un număr format din zerouri, este aruncat.

Transformările 1-4 sunt numite elementare. Două matrici sunt numite echivalente. dacă o matrice se obține din celălalt prin transformări elementare. Echivalenta matrici și notate

minoră de bază al matricei este orice minor nenul a cărei ordine este egal cu rangul de această matrice.

Luați în considerare metodele de bază de a găsi rangul matricei.

1. Metoda de unu și zero. Cu ajutorul transformărilor elementare poate fi orice matrice la forma, în cazul în care fiecare dintre seriile sale va consta numai zerouri sau zerouri și unul. Apoi, numărul de unități rămase și se determină gradul de original, ca matricea rezultată va fi echivalentă cu originalul.

Exemplul 2.1. Găsiți rangul metodei matricei de unu și zero.

Se împarte elementele a treia coloană este 2, atunci prima linie se multiplica și se adaugă într-un al patrulea rând. Obținem o nouă matrice echivalentă:

Acum, se adaugă a patra linie la a doua și a treia. Obținem o nouă matrice echivalentă:

Înmulțiți elementele din coloana a doua și a patra coloană adăuga până elemente. Apoi se multiplica elementele din a doua coloană și să-l adăugați la elementele corespunzătoare ale primei coloane. Și, în final, se adaugă elementele de a doua coloană la elementele corespunzătoare din coloana a cincea. Obținem o nouă matrice echivalentă:

Inmultind al treilea rând, și adăugați elemente la elementele corespunzătoare ale doilea rând. Obținem o nouă matrice echivalentă:

matrice pătratică de ordine, se numește non-degenerate. dacă determinantul său (determinant).

În cazul. matrice se numește degenerată.

Numai pentru non-singular matrice pătratică introduce conceptul matricei inverse.

Matricea se numește matricea nesingular pătratul. în cazul în care. unde - matricea identitate.

Ea există doar pentru matricea inversă matricei, care se determină prin formula:

sau în care - o uniune sau o matrice adjoint, elementele sale sunt cofactori transpuse matrice. și anume matrice obținută din această matrice prin înlocuirea coloane din liniile sale cu aceleași numere.

Exemplul 2.2. Găsiți matricea inversă în două moduri: prin intermediul cofactorilor și prin transformări elementare. Faceți o verificare de fond.

1 mod. Cu ajutorul cofactori.

Noi găsim formula inversă,

unde - determinantul matricei;

- aliată sau matrice Adjoint constând din cofactori matricei transpuse.

Conform formulei, putem spune că, dacă. matricea inversă nu există.

Înseamnă există matricea inversă.

Matricea unei uniuni, să constate că cofactori cu formula