linia medie Cheryrehugolnikov, rețeaua socială de educatori

Legende pentru slide-uri:

Ce este un paralelogram Pierre Varignon? Este un paralelogram ale cărui noduri sunt punctele mediane ale laturilor de patrulater alte cuvinte: este un paralelogram a carui diagonalele sunt centrul liniile de patrulaterul

A Dovada B C D N M L K P: se alăture punctele K, L, M, N și trage diagonală AC; In ΔACD NM - linia de mijloc, apoi NM  AC și NM = 1/2 AC; In ΔABC KL - linia de mijloc, apoi KL  AC și KL = 1/2 AC; NM = 1/2 AC = KL, NM  AC  KL, apoi patrulater klmn - paralelogram. A Dovada L B M C D K P N: se alăture punctele K, L, M, N și desena DB diagonală; In ΔCDB NM - linia de mijloc, apoi NM  DB și NM = 1/2 DB; In ΔADC KL - linia de mijloc, apoi KL  DB și KL = 1/2 DB; NM = 1/2 DB = KL, NM  DB  KL, apoi patrulater klmn - paralelogram. Vom demonstra că klmn - Pierre Varignon paralelogram, cu KM și NM - midlines ABCD.

Deci ... Deoarece klmn patrulater - Pierre Varignon paralelogram, diagonalele sale la intersecția bisect linia medie a oricărui bisect patrulater

Consecințe: 1. În cazul în care linia medie a patrulaterului sunt egale, atunci mijlocul laturilor patrulaterului (paralelogram vertex Pierre Varignon) se afla pe un cerc. Dovada: Deoarece paralelogramului Pierre Varignon linii medii egale sunt diagonalele egale, atunci acest paralelogram - un dreptunghi, iar în jurul ei este întotdeauna posibil să se descrie un cerc, atunci nodurile sale se află pe un cerc.

Consecințe: 2. Dacă linia medie a patrulaterului sunt perpendiculare, atunci diagonalele patrulaterului sunt egale. Dovada: Deoarece NL┴KM și NL, cu o diagonală în paralelogram KM klmn. klmn - diamant. Pe aceasta KL = LM = MN = NK. Deoarece AC = 2 KL și BD = 2 NK. AC = BD. A K B L C M D N P O O P K C D M N L B

Corolar: A K B L C M D N P O O P K C D M N L B 3. Dacă diagonalele patrulaterului sunt egale, liniile mediane ale patrulaterului sunt perpendiculare. Dovada: Deoarece AC = 2 MN = 2 KL. 2 BD = NK = ML 2 și AC = BD. apoi KL = LM = MN = NK. Deci, klmn - diamant, și diagonalele de diamant sunt perpendiculare, adică NL┴KM.

De exemplu: Rezolvarea o astfel de problemă, am avea mult de lucru, fără să știe una dintre proprietățile unui paralelogram Pierre Varignon:

Care este aria paralelogramului Pierre Varignon? Dovada patrulater convex: Luați în considerare ΔABD și ΔANK: a).

Care este aria paralelogramului Pierre Varignon? Dovada pentru patrulaterul non-convexe: Luați în considerare ΔABD și ΔANK: a).

S klmn = 1/2 S ABCD Preparate pătrat Pierre Varignon paralelogram este egală cu jumătate din aria patrulaterului ale cărui linii centru sunt diagonalele sale. Corolar: patrulatere pătrați, cu liniile centrale egale sunt egale. Impact: Zona patrulaterului este egală cu produsul liniei sale medii și sinusul unghiului dintre ele.

De exemplu: Putem rezolva acum problema în două etape: 1. S perechi. Pierre Varignon este de 15 * 18 = 270 cm pătrat. 2. S ABCD = 2 * 270 = = 540 cm pătrat.

Care este lungimea liniei de centru? A D C F B G E Fie EF - linia mediană a ABCD patrulater (EA = ED, FB = FC AB neparalele DC.); Apoi. NL = ND + DA + AL și NL = NC + CB + BL Punerea acestor egalitati și obținem: 2NL = vector DA + CB Deci 2NL, DA și CB sunt laturile unui triunghi în vectori de transport paralel DC și 2ef primesc egali vector BG și AG . formează împreună cu vectorul AB Δ AGB. în cazul în care inegalitatea triunghiului obținem: AG