Leohardo da vihchi
AHTOHYUK PN GOLDEN SECHEHIE - Matematica TERMIH LEOHARDO DA VIHCHI
„Nimeni să nu mi-a citit baza unuia meu, care nu este un matematician“, - a spus Leonardo da Vinci, pentru a parafraza motto-ul Academiei lui Platon „Negeometr să nu vină!“ Cu aceste cuvinte și-a exprimat atitudinea față de matematică, de interes în care este formată în mare parte sub influența prietenului său, matematicianul italian Luca Pacioli. La sfârșitul secolului al XV-lea. Leonardo da Vinci a inventat termenul de „secțiunea de aur“, ceea ce înseamnă un segment de diviziune în două părți, atunci când o mare parte din ea este media geometrică a tuturor segmentului și partea sa inferioară. De multe ori în secțiunea de aur pentru a înțelege numărul irațional
egal cu raportul porțiuni mai mari și mai mici ale segmentului.
numărul τ neraționale au fost cunoscute mult mai devreme. Mai multe Euclid folosit în construcția secțiunii de aur dreapta 5 și 10-gon și două poliedre regulate Platon, dodecaedrul și icosaedru 1. Secțiunea de Aur utilizate pe scară largă în domeniu și geometria, în primul rând în arhitectura. În 1509 în Veneția Pacioli a publicat o carte „Proporția Divina“, care conține teoria proporțiilor geometrice 2. Pacioli 13 indică proprietățile Proporției Divine (secțiunea de aur), pentru a onora cei 12 apostoli și învățători ai lui Isus Hristos, și susține că pentru a lista toate proprietățile proporția divină nu ar fi suficient de cerneală și hârtie. Leonardo da Vinci a făcut desene pentru această lucrare, inclusiv 59 de imagini de poliedre.
matematician italian Leonardo Pizansky (Fibonacci) publicat în 1202 „Cartea abac“ - un tratat despre aritmetica si algebra. În această carte, considerăm problema de iepuri de reproducție. Creșterea lunară a numărului de perechi de iepuri descris secventa Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.
în care suma numerelor adiacente este urmat de un număr. Această secvență se comportă asimptotic ca o progresie geometrică, cu un numitor egal cu secțiunea de aur 3. Rolul important al τ, printre alte numere spune că unitățile de secvență infinite atunci când expansiunea sa în fracțiunea așa-numita continuă sau lanț) obținute.
Cu dodecaedrul și icosaedru strâns legate deschis astronom și matematician german Johannes Kepler rombice dreapta poliedru triacontahedron 4. 30 fețe poliedru - este diamante, diagonalele atitudine sunt egale cu secțiunea de aur. Printre unele poliedre semi-regulat se confruntă Arhimede au loc 5 și 10-gon; prin urmare, în construcția lor este necesar să se utilizeze secțiunea de aur 5. Aspectul secțiunii de aur atunci când descrie configurații poliedre și corpurile geometrice la toate datorită prezenței acestor organisme au axe de simetrie a cincea ordine: corpul rotit în jurul unei axe, la un unghi egal cu o cincime din oborotadelo deplin se aliniază a. Interesant, infinit extins în trei dimensiuni regulate discrete axe sisteme cristaline de simetrie al cincilea ordinul absent, deși există axa de simetrie de ordinul 2, 3, 4 și 6. Aceasta înseamnă că, în descrierea simetriei cristalului se poate dispensa de secțiunea de aur. Dimpotrivă, deschis la sfârșitul secolului XX. clustere moleculare quasicrystals și pot avea o axă de simetrie a cincea ordine, și, prin urmare, structura acestora poate fi asociată cu secțiunea de aur 6. Acesta a fost mult timp observat că în structura anumitor plante și animale axă prezent de simetrie al cincilea ordin. Exemple de astfel de simetrie evidente pot servi ca flori de mar si arici de mare. Spre deosebire de lumea vie a cristalelor permite geometria secțiunii de aur.
Secțiunea de aur este adesea găsit în diverse domenii ale științei naturale. De exemplu, rata de convergență a metodei iterative bine cunoscute secțiuni transversale, utilizate pentru a căuta rădăcinile ecuațiilor este egală cu secțiunea de aur.
Există o serie de metode iterative de calcul secțiunea de aur, care sunt printre cele mai interesante probleme matematice. Am încercat să le identifice și să organizeze. Printre proprietățile fundamentale ale metodelor de secțiunea de aur sunt găsirea simplitatea lor și viteza de calcul (viteza de convergență), care au stat la baza clasificării propuse.
În primul rând, ia în considerare metodele lente de calcul τ. Deoarece raportul de aur este rădăcina pozitivă a ecuației 2 x = x + 1. calculul lui τ se realizează prin aproximări succesive prin formulele
Pentru care x0 inițială de aproximare este aleasă în mod arbitrar. Sequence (1) converge lent la τ. Sequence (2) diverge de lent τ, sau cu alte cuvinte, converge încet la τ când n → -∞. astfel încât în acest caz, pentru a calcula τ ar inversa formula.
Este important de notat faptul că (1) atunci când X0 = 1 este strâns legată de numerele lui Fibonacci fn.
Astfel, numerele lui Fibonacci formează numitorii și numărătorii în converge secvenței τ:
Această secvență este împărțit în două sub-secvență a limitelor inferioare și superioare pentru T:
Luați în considerare acum cele mai rapide metode de calcul τ. formulă
specifică două aproximare a și b la rădăcina funcției f (x). formulă
specifică două aproximare a și b pentru funcția τ rădăcină f (x) = x 2 -x-1.
În cazul particular când a = xn-1. b = xn. c = xn + 1. Obținem pentru a calcula metoda secantă formula τ
În cazul particular a = x. b = xn. c = xn + 1. Obținem formula de calcul al metodei tangentei τ
x0 aproximare inițială și x1, în formulele (3) și (4) poate fi ales în mod arbitrar.
ecuații cu diferențe (1), (2), (3), (4) poate fi scrisă într-o altă formă - ca funcție de iterare și hărți. Această notație este utilă în cazul ecuațiilor greoaie. De exemplu, ecuația (4) corespunde funcției de iterații și ecuația (3) corespunde iterații afișate:
Folosind transformarea neliniară (așa-numita convergență egalizor liniar sau divergență liniară)
sunt capabili de a converti date de formulele (1) și (2) funcții în noua funcție:
definind rapid converg spre τ iterație.
Folosind o convergență pătratică așa-numitele corectorului
transformatei dată de funcția formula (4) în noua caracteristică
care oferă convergență extrem de rapid la τh. Fiecare repetare a funcției (7) crește numărul de locuri luate după o valoare aproximativă zecimală corespunzătoare τ mai mult de 6 ori! Doar 9 iterații ale unității privind apropierea inițială a da mai mult de trei milioane de zecimale, și 13 iterații - peste patru miliarde de zecimale.
Pentru a completa imaginea metodelor de a găsi secțiunea de aur este necesară pentru a explica un astfel de lucru ca „rata de convergență“. În cazul în care secvența xn. converge la limita x *. formula adevărată
(K - un număr real pozitiv) k se numește rata de convergență a secvenței. Pentru formula (1) k = 1 (convergența liniară). Pentru formulele (4), (5) și (6) k = 2 (convergență pătratică). În formula (7) k = 6. Ecuația (2) definește o divergență liniară. În cele din urmă, în conformitate cu formula de mai sus (3), ca o metodă de secante opțiune, caracterizată prin viteză k = τ: τ este calculat din numărul vitezei τ.
Numărul τ este o listă a celor mai importante constante matematice, cum ar fi pi numărul, numărul e. Numărul γ (Euler-Mascheroni constant), etc. Mai mult de 500 de ani de la Leonardo da Vinci, acest număr este numit secțiunea de aur.