Legile lui Kepler - un
prima lege a lui Kepler.
Fiecare planetă din sistemul solar se aprinde o elipsă. într-unul din focarele care este soarele.
Forma elipsei și gradul de similitudine cu circumferința caracterizată prin raportul, unde c - distanța de la centrul elipsei să se concentreze (mezhfokusnogo jumătate din distanța), a - axa semimajore. Valoarea e este numită excentricitatea elipsei. În cazul în care c = 0 și e = 0 elipsa devine un cerc.
Dovada primei legi a lui Kepler
legea gravitatiei lui Newton afirmă că „fiecare obiect din univers atrage orice alt obiect la linia care leagă centrele de masă a obiectelor proporțional cu masa fiecărui obiect, și invers proporțională cu pătratul distanței dintre obiecte.“ Acest lucru sugerează că accelerația a are o formă
În forma de coordonate noi scriem
Înlocuind în a doua ecuație, obținem
După integrarea vom scrie expresia
pentru unele constantă, care este un moment unghiular specific () .Pust
Ecuația de mișcare într-o direcție devine
legea gravitației a lui Newton se leagă forța pe unitatea de masă cu distanța ca
în cazul în care G - constanta gravitațională universală, și M - masa stelei.
Această ecuație diferențială are soluția generală:
pentru constantele de integrare arbitrare e și θ0.
Substituind u 1 / r și setarea θ0 = 0, obținem:
Avem ecuația unei secțiuni cu excentricitatea e conică și originea sistemului într-unul din focarele. Astfel, prima lege a lui Kepler decurge direct din legea atracției universale a doua lege a lui Newton și Newton.
A doua lege a lui Kepler (legea zonelor)
Legea a doua a lui Kepler.
Fiecare planeta se mută într-un plan care trece prin centrul soarelui, cu timpi egale ale vectorului de rază care unește soarele si planeta mătură sectorul suprafață egală.
Cu referire la sistemul nostru solar, această lege legat două concepte: periheliu - cel mai apropiat punct de pe orbita si afeliu Soarelui - cel mai îndepărtat punct al orbitei. Astfel, a doua lege a Keppler rezultă că planeta se mișcă în jurul soarelui inegal, având perihelia mai mare decât viteza liniară afeliul.
Dovada a doua lege a lui Kepler
Prin definirea particulei colț punct punct de masă m și viteza poate fi scrisă ca:
.
în care: - raza particulelor vectoriale și - impulsul particulei.
.
Ca urmare, avem
.
Ne diferentiem ambele părți ale ecuației timpului
ca produsul vectorial al vectorilor paraleli este zero. Rețineți că F este întotdeauna paralelă cu r. deoarece forța radială, iar p este întotdeauna paralel cu v, prin definiție. Astfel, se poate argumenta că - constantă.
A treia lege a lui Kepler (armonice Legea)
Pătratele perioadelor planetelor în jurul Soarelui sunt ca niște cuburi de axe semi-majore ale orbitele planetelor.
, unde T1 și T2 - perioadele de doua planete in jurul soarelui, a1 și a2 - lungimea semi-axele majore ale orbitelor lor.
Newton a constatat că atracția gravitațională a unei anumite planete în masă depinde numai de distanța acesteia și nu pe alte proprietăți, cum ar fi compoziția sau temperatură. De asemenea, el a arătat că legea a treia a lui Kepler nu este în întregime corectă - de fapt, aceasta include masa planetei: unde M - masa Soarelui, și M1 și M2 - masa planetelor.
Deoarece mișcarea și greutatea au fost legate, combinația de legea armonică a legii Kepler și Newton a gravitatiei este folosită pentru a determina masele de planete și sateliți, dacă știm orbitele lor și perioadele orbitale.
Dovada a treia lege a lui Kepler
A doua lege a lui Kepler afirmă că vectorul raza de corp care circulă ăsteia arii egale în perioade egale. Dacă luăm acum un interval de timp foarte scurte, atunci când planeta se află la punctele A și B (periheliu și afeliu), putem aproxima zona triunghiuri cu o înălțime egală cu distanța de la planeta la soare, și o bază egală cu produsul dintre viteza planetei pentru un timp .
Folosind legea de conservare a energiei pentru energia totală a planetei, la punctele A și B. Scriem
Acum, că am găsit un VB. putem găsi viteza sectorială. Deoarece este constantă, putem alege orice punct de pe elipsa, de exemplu, pentru a obține un punct B
Cu toate acestea, suprafața totală a elipsei este egal (πab egal. As). un sistem complet Perioada de timp, în acest fel,
Rețineți că, în cazul în care masa m nu este neglijabil de mică în comparație cu planeta M. se va învârti în jurul soarelui la aceeași viteză și în aceeași orbită ca punct material maselor ce orbitează M + m (vezi. Masa redusă). În acest caz, M masa în ultima formulă trebuie înlocuită cu M + m: